(وقيمة هذا الجهد يسمى جهد التأين) فتلزمه طاقة ليقفز ويترك الذرة قدرها: وهذا التحليل البسيط غير كامل ويترك المسافة a غير معروفة. ويمكن أن يكون أكثر دقة بتحديد هذه المسافة لكل إلكتون في العناصر الكيميائية، وعلى هذا تتطابق العلاقة مع التجارب العملية. التفسير طبقا لميكانيكا الكم طبقا لنظرية ميكانيكا الكم يتم وصف الإلكتون كسحابة للأماكن المتوقع وجوده فيها (في مدار إلكتروني) وهي تعطي لتواجد الإلكتون احتمالات تتراوح بين القرب والبعد r عن النوة. ويمكن بميكانيكا الكم حساب الطاقة بتكامل هذه السحابة، وتكون أبسط صيغة لطاقة تأين كالتالي: حيث H الهاملتوني (ميكانيكا الكم)، وهي الدالة الموجية للحالة القاعية للإلكتون. وطبقا لمعادلة هاملتون تكون H مكونة من طاقة الحركة وطاقة الوضع للإلكتون حيث يوجد بالقرب من النوة الموجبة الشحنة ويقع تحت تأثير جهدها الكولومي: حيث أن Z هي الشحنة النووية ومؤثر التدريج الذي يصف حركة الإلكتون. وأمكن العلماء حل المعادلة في حالة ذرة الهيدروجين حيث شحنة النوة تكون +1. وحصلوا على طاقة المدار وبعد المدار عن النوة في نموذج بور، وعرفوه بالمسافة المحد
(وَقِيمَةُ هَذَا الْجُهْدِ يُسَمَّى جُهْدَ التَّأَيُّنِ) فَتَلْزَمُهُ طَاقَةٌ لِيَقْفِزَ وَيَتْرُكَ الذَّرَّةَ قَدْرَهَا: وَهَذَا التَّحْلِيلُ الْبَسِيطُ غَيْرُ كَامِلٍ وَيَتْرُكُ الْمَسَافَةَ a غَيْرَ مَعْرُوفَةٍ. وَيُمْكِنُ أَنْ يَكُونَ أَكْثَرَ دِقَّةً بِتَحْدِيدِ هَذِهِ الْمَسَافَةِ لِكُلِّ إِلِكْتُونٍ فِي الْعَنَاصِرِ الْكِيمِيَائِيَّةِ، وَعَلَى هَذَا تَتَطَابَقُ الْعَلَاقَةُ مَعَ التَّجَارِبِ الْعَمَلِيَّةِ. التَّفْسِيرُ طَبِقًا لِمِيكَانِيكَا الْكُمِّ طَبِقًا لِنَظَرِيَّةِ مِيكَانِيكَا الْكُمِّ يُتَمُّ وَصْفُ الإِلِكْتُونِ كَسَحَابَةٍ لِلْأَمَاكِنِ الْمُتَوَقَّعِ وُجُودُهُ فِيهَا (فِي مَدَارِ إِلِكْتُرُونِي) وَهِيَ تُعْطِي لِتَوَاجُدِ الإِلِكْتُونِ احْتِمَالَاتٍ تَتَرَاوَحُ بَيْنَ الْقُرْبِ وَالْبُعْدِ r عَنْ النُّوَةِ. وَيُمْكِنُ بِمِيكَانِيكَا الْكُمِّ حِسَابُ الطَّاقَةِ بِتَكَامُلِ هَذِهِ السَّحَابَةِ، وَتَكُونُ أَبْسَطُ صِيغَةٍ لِطَاقَةِ تَأَيُّنٍ كَالْتَّالِي: حَيْثُ H الْهَامِلْتُونِي (مِيكَانِيكَا الْكُمِّ)، وَهِيَ الدَّالَّةُ الْمَوْجِيَّةُ لِلْحَالَةِ الْقَاعِيَةِ لِلْإِلِكْتُونِ. وَطَبِقًا لِمُعَادَلَةِ هَامِلْتُون تَكُونُ H مُكَوَّنَةً مِنْ طَاقَةِ الْحَرَكَةِ وَطَاقَةِ الْوَضْعِ لِلْإِلِكْتُونِ حَيْثُ يُوجَدُ بِالْقُرْبِ مِنَ النُّوَةِ الْمُوجَبَةِ الشَّحْنَةِ وَيَقَعُ تَحْتَ تَأْثِيرِ جُهْدِهَا الْكُولُومِي: حَيْثُ أَنَّ Z هِيَ الشَّحْنَةُ النُّوَوِيَّةُ وَمُؤَثِّرُ التَّدْرِيجِ الَّذِي يَصِفُ حَرَكَةَ الإِلِكْتُونِ. وَأَمْكَنَ الْعُلَمَاءُ حَلَّ الْمُعَادَلَةِ فِي حَالَةِ ذَرَّةِ الْهَيْدُرُوجِينِ حَيْثُ شَحْنَةُ النُّوَةِ تَكُونُ +1. وَحَصَلُوا عَلَى طَاقَةِ الْمَدَارِ وَبُعْدِ الْمَدَارِ عَنْ النُّوَةِ فِي نَمُوذَجِ بُورٍ، وَعَرَّفُوهُ بِالْمَسَافَةِ الْمُحَدَّ