Quel quadrilatère a une paire d’arêtes parallèles de longueur inégale ?
Trapèze
*Trapèze (Royaume-Uni) ou trapèze (États-Unis) : au moins une paire de côtés opposés sont parallèles. *Trapèze isocèle (Royaume-Uni) ou trapèze isocèle (États-Unis) : une paire de côtés opposés est parallèle et les angles de base sont égaux en mesure. Des définitions alternatives sont un quadrilatère avec un axe de symétrie coupant en deux une paire de côtés opposés, ou un trapèze avec des diagonales d'égale longueur. *Trapèze tangentiel : un trapèze dont les quatre côtés sont tangents à un cercle inscrit.
En géométrie plane euclidienne, un quadrilatère est un polygone avec quatre arêtes (ou côtés) et quatre sommets ou coins. Parfois, le terme quadrangle est utilisé, par analogie avec triangle, et parfois tétragone par souci de cohérence avec pentagone (à 5 côtés), hexagone (à 6 côtés), etc.
L'origine du mot « quadrilatère » vient des deux mots latins quadri, une variante de quatre, et latus, signifiant « côté ».
Les quadrilatères sont simples (ne se croisant pas) ou complexes (se croisant), également appelés croisés. Les quadrilatères simples sont soit convexes, soit concaves.
Les angles intérieurs d'un quadrilatère simple (et plan) ABCD totalisent 360 degrés d'arc, soit
\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}.
Il s'agit d'un cas particulier de la formule de somme des angles intérieurs n-gon (n − 2) × 180°.
Tous les quadrilatères non auto-croisants recouvrent le plan par rotation répétée autour du milieu de leurs arêtes.
Quadrilatères simples
Tout quadrilatère qui ne se coupe pas est un quadrilatère simple.
Quadrilatères convexes
Dans un quadrilatère convexe, tous les angles intérieurs sont inférieurs à 180° et les deux diagonales se trouvent toutes deux à l'intérieur du quadrilatère.
*Quadrilatère irrégulier (anglais britannique) ou trapèze (anglais nord-américain) : aucun côté n'est parallèle. (En anglais britannique, cela s'appelait autrefois un trapèze.)
*Trapèze (Royaume-Uni) ou trapèze (États-Unis) : au moins une paire de côtés opposés sont parallèles.
*Trapèze isocèle (Royaume-Uni) ou trapèze isocèle (États-Unis) : une paire de côtés opposés est parallèle et les angles de base sont égaux en mesure. Des définitions alternatives sont un quadrilatère avec un axe de symétrie coupant en deux une paire de côtés opposés, ou un trapèze avec des diagonales d'égale longueur.
*Parallélogramme : quadrilatère avec deux paires de côtés parallèles. Les conditions équivalentes sont que les côtés opposés sont de même longueur ; que les angles opposés sont égaux ; ou que les diagonales se coupent en deux. Les parallélogrammes incluent également le carré, le rectangle, le losange et le losange.
*Rhombe ou losange : les quatre côtés sont de même longueur. Une condition équivalente est que les diagonales se coupent perpendiculairement. De manière informelle : « un carré renversé » (mais incluant strictement un carré aussi).
*Rhomboïde : un parallélogramme dans lequel les côtés adjacents sont de longueurs inégales et les angles sont obliques (et non des angles droits). Un parallélogramme qui n'est pas un losange. De manière informelle : « un oblong poussé » (mais incluant strictement aussi un oblong).
*Rectangle : les quatre angles sont des angles droits. Une condition équivalente est que les diagonales se coupent en deux et soient de même longueur. De manière informelle : « une boîte ou oblongue » (y compris un carré).
*Carré (quadrilatère régulier) : les quatre côtés sont de même longueur (équilatérale) et les quatre angles sont des angles droits. Une condition équivalente est que les côtés opposés soient parallèles (un carré est un parallélogramme), que les diagonales se coupent perpendiculairement et soient de même longueur. Un quadrilatère est un carré si et seulement s'il est à la fois un losange et un rectangle (quatre côtés égaux et quatre angles égaux).
*Oblong : terme parfois utilisé pour désigner un rectangle dont les côtés adjacents sont inégaux (c'est-à-dire un rectangle qui n'est pas un carré).
*Cerf-volant : deux paires de côtés adjacents sont de même longueur. Cela implique qu'une diagonale divise le cerf-volant en triangles congruents, et donc les angles entre les deux paires de côtés égaux sont de mesure égale. Cela implique également que les diagonales sont perpendiculaires.
*Quadrilatère tangentiel : les quatre côtés sont tangents à un cercle inscrit. Un quadrilatère convexe est tangentiel si et seulement si ses côtés opposés ont des sommes égales.
*Trapèze tangentiel : un trapèze dont les quatre côtés sont tangents à un cercle inscrit.
*Quadrilatère cyclique : les quatre sommets se trouvent sur un cercle circonscrit. Un quadrilatère convexe est cyclique si et seulement si les angles opposés totalisent 180°.
*Cerf-volant droit : un cerf-volant avec deux angles droits opposés. C'est un type de quadrilatère cyclique.
*Quadrilatère bicentrique : il est à la fois tangentiel et cyclique.
*Quadrilatère orthodiagonal : les diagonales se croisent à angle droit.
*Quadrilatère équidiagonal : les diagonales sont de même longueur.
*Quadrilatère ex-tangentiel : les quatre extensions des côtés sont tangentes à un excercle.
*Un quadrilatère équilique a deux côtés égaux opposés qui, lorsqu'ils sont étendus, se rejoignent à 60°.
*Un quadrilatère de Watt est un quadrilatère avec une paire de côtés opposés de même longueur.
*Un quadrilatère quadrique est un quadrilatère convexe dont les quatre sommets se trouvent tous sur le périmètre d'un carré.
*Un quadrilatère diamétral est un quadrilatère cyclique ayant l'un de ses côtés comme diamètre du cercle circonscrit.
Quadrilatères concaves
Dans un quadrilatère concave, un angle intérieur est supérieur à 180° et l'une des deux diagonales est située à l'extérieur du quadrilatère.
*Une fléchette (ou pointe de flèche) est un quadrilatère concave à symétrie bilatérale comme un cerf-volant, mais un angle intérieur est réflexe.
Quadrilatères complexes
Un quadrilatère auto-sécant est appelé diversement quadrilatère croisé, quadrilatère croisé, quadrilatère papillon ou quadrilatère nœud papillon. Dans un quadrilatère croisé, les quatre angles « intérieurs » de part et d'autre du croisement (deux aigus et deux réfléchis, tous à gauche ou tous à droite selon le tracé de la figure) totalisent 720°.
*Antiparallélogramme : quadrilatères croisés dans lesquels (comme un parallélogramme) chaque paire de côtés non adjacents a des longueurs égales.
*Rectangle croisé : un antiparallélogramme dont les côtés sont deux côtés opposés et les deux diagonales d'un rectangle, ayant donc une paire de côtés opposés parallèles.
Segments de ligne spéciaux
Les deux diagonales d’un quadrilatère convexe sont les segments de droite qui relient les sommets opposés.
Les deux bimédianes d'un quadrilatère convexe sont les segments de droite qui relient les milieux des côtés opposés. Ils se coupent au « centroïde du sommet » du quadrilatère (voir Points remarquables ci-dessous).
Les quatre altitudes d'un quadrilatère convexe sont les perpendiculaires à un côté passant par le milieu du côté opposé.
Aire d'un quadrilatère convexe
Il existe différentes formules générales pour l'aire K d'un quadrilatère convexe ABCD de côtés a AB, b
 BC, c CD et d
 DA.
Formules trigonométriques
L'aire peut être exprimée en termes trigonométriques comme
K = \tfrac{1}{2} pq \cdot \sin \theta,
où les longueurs des diagonales sont p et q et l'angle entre elles est θ. Dans le cas d'un quadrilatère orthodiagonal (par exemple losange, carré et cerf-volant), cette formule se réduit à K=\tfrac{1}{2}pq puisque θ est de 90°.
L'aire peut également être exprimée en termes de bimédianes comme
K = mn \cdot \sin \varphi,
où les longueurs des bimédianes sont m et n et l'angle entre elles est φ.
La formule de Bretschneider exprime l'aire en termes de côtés et de deux angles opposés :
\begin{aligner}
K &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 + \cos (A + C) ]} \\
&= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \left[ \cos^2 \left( \tfrac{A + C}{2} \right) \right]}
\fin{aligner}
où les côtés en séquence sont a, b, c, d, où s est le demi-périmètre, et A et C sont deux (en fait, deux) angles opposés. Cela se réduit à la formule de Brahmagupta pour l'aire d'un quadrilatère cyclique lorsque A+C = 180°.
Une autre formule d'aire en termes de côtés et d'angles, l'angle C étant entre les côtés b et c, et A étant entre les côtés a et d, est
K = \tfrac{1}{2}ad \cdot \sin{A} + \tfrac{1}{2}bc \cdot \sin{C}.
Dans le cas d'un quadrilatère cyclique, cette dernière formule devient K = \tfrac{1}{2}(ad+bc)\sin{A}.
Dans un parallélogramme, où les deux paires de côtés et d'angles opposés sont égaux, cette formule se réduit à K=ab \cdot \sin{A}.
Alternativement, nous pouvons écrire l'aire en termes de côtés et d'angle d'intersection θ des diagonales, à condition que cet angle ne soit pas de 90° : Mitchell, Douglas W., "The Area of ​​a Quadrilatère", Mathematical Gazette 93, juillet. 2009, 306-309.
K = \frac{4} \cdot \left| a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right|.
Dans le cas d'un parallélogramme, cette dernière formule devient K = \tfrac{1}{2}|\tan \theta|\cdot \left| a^2 - b^2 \right|.
Une autre formule d'aire incluant les côtés a, b, c, d est.
K=\tfrac{1}{4}\sqrt{(2(a^2+c^2)-4x^2)(2(b^2+d^2)-4x^2)}\sin{\ varphi}
où x est la distance entre les milieux des diagonales et φ est l'angle entre les bimédianes.
La dernière formule d'aire trigonométrique incluant les côtés a, b, c, d et l'angle α entre a et b est :
K=\tfrac{1}{2}ab\cdot\sin{\alpha}+\tfrac{1}{4}\sqrt{4c^2d^2-(c^2+d^2-a^2- b^2+2ab\cdot\cos{\alpha})^2} ,
qui peut également être utilisé pour l'aire d'un quadrilatère concave (ayant la partie concave opposée à l'angle α) en changeant simplement le premier signe + en - .
Formules non trigonométriques
Les deux formules suivantes expriment l'aire en fonction des côtés a, b, c, d, du demi-périmètre s et des diagonales p, q :
K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)},
K = \tfrac{1}{4} \sqrt{4p^{2}q^{2}- \left( a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} \droite) ^{2}}.
La première se réduit à la formule de Brahmagupta dans le cas du quadrilatère cyclique, puisque alors pq = ac + bd.
L'aire peut également être exprimée en termes de bimédianes m, n et de diagonales p, q :
K=\tfrac{1}{2}\sqrt{(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)},
K\tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(m^2-n^2)^2}. .
En fait, trois des quatre valeurs m, n, p et q suffisent pour déterminer l'aire, puisque dans tout quadrilatère, les quatre valeurs sont liées par p^2+q^22(m^2+n^2) . Les expressions correspondantes sont :
K=\tfrac{1}{2}\sqrt{[(m+n)^2-p^2]\cdot[p^2-(m-n)^2]},
si les longueurs de deux bimédianes et d'une diagonale sont données, et
K=\tfrac{1}{4}\sqrt{[(p+q)^2-4m^2]\cdot[4m^2-(p-q)^2]},
si les longueurs de deux diagonales et d'une bimédiane sont données.
Formules vectorielles
L'aire d'un quadrilatère ABCD peut être calculée à l'aide de vecteurs. Soit les vecteurs AC et BD former les diagonales de A à C et de B à D. L'aire du quadrilatère est alors
K = \tfrac{1}{2} |\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}|,
ce qui représente la moitié de la valeur du produit vectoriel des vecteurs AC et BD. Dans l'espace euclidien bidimensionnel, exprimant le vecteur AC comme un vecteur libre dans l'espace cartésien égal à (x1,y1) et BD comme (x2,y2), cela peut être réécrit comme suit :
K = \tfrac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|.
Diagonales
Propriétés des diagonales dans certains quadrilatères
Dans le tableau suivant, il est indiqué si les diagonales de certains des quadrilatères les plus élémentaires se coupent en deux, si leurs diagonales sont perpendiculaires et si leurs diagonales ont la même longueur. La liste s'applique aux cas les plus généraux et exclut les sous-ensembles nommés.
Remarque 1 : Les trapèzes et trapèzes isocèles les plus généraux n'ont pas de diagonales perpendiculaires, mais il existe un nombre infini de trapèzes et de trapèzes isocèles (non similaires) qui ont des diagonales perpendiculaires et ne sont aucun autre quadrilatère nommé.
Remarque 2 : Dans un cerf-volant, une diagonale coupe l'autre en deux. Le cerf-volant le plus général a des diagonales inégales, mais il existe un nombre infini de cerfs-volants (non similaires) dans lesquels les diagonales sont de même longueur (et les cerfs-volants ne sont aucun autre quadrilatère nommé).
Longueurs des diagonales
Les longueurs des diagonales d'un quadrilatère convexe ABCD peuvent être calculées à l'aide de la loi des cosinus sur chaque triangle formé par une diagonale et deux côtés du quadrilatère. Ainsi
p\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{B}}
\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos{D}}
et
q\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos{A}}
\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{C}}.
D'autres formules plus symétriques pour les longueurs des diagonales sont
p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos{B}+\cos{D})}{ab+cd}}
et
q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos{A}+\cos{C})}{ad+bc}}.
Généralisations de la loi du parallélogramme et du théorème de Ptolémée
Dans tout quadrilatère convexe ABCD, la somme des carrés des quatre côtés est égale à la somme des carrés des deux diagonales plus quatre fois le carré du segment de droite reliant les milieux des diagonales. Ainsi
 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + 4x^2
où x est la distance entre les milieux des diagonales. Ceci est parfois connu sous le nom de théorème du quadrilatère d'Euler et constitue une généralisation de la loi du parallélogramme.
Le mathématicien allemand Carl Anton Bretschneider a dérivé en 1842 la généralisation suivante du théorème de Ptolémée, concernant le produit des diagonales dans un quadrilatère convexe
 p^2q^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos{(A+C)}.
Cette relation peut être considérée comme une loi des cosinus pour un quadrilatère. Dans un quadrilatère cyclique, où A + C 180°, il se réduit à pq
 ca + ch. Puisque cos (A + C) ≥ −1, cela donne également une preuve de l'inégalité de Ptolémée.
Autres relations métriques
Si X et Y sont les pieds des normales de B et D à la diagonale AC p dans un quadrilatère convexe ABCD de côtés a
 AB, b avant JC, c
 CD, d DA, puis
XY=\frac{2p}.
Dans un quadrilatère convexe ABCD de côtés a AB, b
 BC, c CD, d
DA, et là où les diagonales se coupent en E,
 efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d) = (agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)
où e AE, f
BE, g CE et h
 DE.
La forme et la taille d'un quadrilatère convexe sont entièrement déterminées par les longueurs de ses côtés en séquence et d'une diagonale entre deux sommets spécifiés. Les deux diagonales p, q et les quatre longueurs des côtés a, b, c, d d'un quadrilatère sont liées par le déterminant de Cayley-Menger, comme suit :
\det \begin{bmatrix}
   0 & a^2 & p^2 & d^2 & 1 \\
 a^2 & 0 & b^2 & q^2 & 1 \\
p^2 & b^2 & 0 & c^2 & 1 \\
 d^2 & q^2 & c^2 & 0 & 1 \\
   1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix} = 0.
Médisatrices d'angle
Les bissectrices internes d'un quadrilatère convexe forment soit un quadrilatère cyclique (c'est-à-dire que les quatre points d'intersection des bissectrices adjacentes sont concycliques), soit elles sont concurrentes. Dans ce dernier cas le quadrilatère est un quadrilatère tangentiel.
Dans le quadrilatère ABCD, si les bissectrices de A et C se rencontrent sur la diagonale BD, alors les bissectrices de B et D se rencontrent sur la diagonale AC.
Bimédianes
Les bimédianes d'un quadrilatère sont les segments de droite reliant les milieux des côtés opposés. L'intersection des bimédianes est le centre de gravité des sommets du quadrilatère.
Les milieux des côtés de tout quadrilatère (convexe, concave ou croisé) sont les sommets d'un parallélogramme appelé parallélogramme de Varignon. Il possède les propriétés suivantes :
*Chaque paire de côtés opposés du parallélogramme de Varignon est parallèle à une diagonale du quadrilatère d'origine.
*Un côté du parallélogramme de Varignon est deux fois moins long que la diagonale du quadrilatère d'origine auquel il est parallèle.
*L'aire du parallélogramme de Varignon est égale à la moitié de l'aire du quadrilatère d'origine. Ceci est vrai pour les quadrilatères convexes, concaves et croisés à condition que l'aire de ce dernier soit définie comme étant la différence des aires des deux triangles qui le composent.
*Le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des diagonales du quadrilatère d'origine.
*Les diagonales du parallélogramme de Varignon sont les bimédianes du quadrilatère d'origine.
Les deux bimédianes d'un quadrilatère et le segment de droite joignant les milieux des diagonales de ce quadrilatère sont concourants et sont tous divisés en deux par leur point d'intersection. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
Dans un quadrilatère convexe de côtés a, b, c et d, la longueur de la bimédiane qui relie les milieux des côtés a et c est
m=\tfrac{1}{2}\sqrt{-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2}
où p et q sont la longueur des diagonales. La longueur de la bimédiane qui relie les milieux des côtés b et d est
n=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2}.
Ainsi
\ displaystyle p ^ 2 + q ^ 2 = 2 (m ^ 2 + n ^ 2).
C'est aussi un corollaire de la loi du parallélogramme appliquée dans le parallélogramme de Varignon.
Les longueurs des bimédianes peuvent également être exprimées en termes de deux côtés opposés et de la distance x entre les milieux des diagonales. Ceci est possible en utilisant le théorème du quadrilatère d'Euler dans les formules ci-dessus. D'où
m=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(b^2+d^2)-4x^2}
et
n=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-4x^2}.
Notez que les deux côtés opposés dans ces formules ne sont pas les deux que relie la bimédiane.
Dans un quadrilatère convexe, il existe la double connexion suivante entre les bimédianes et les diagonales :.
* Les deux bimédianes ont la même longueur si et seulement si les deux diagonales sont perpendiculaires.
* Les deux bimédianes sont perpendiculaires si et seulement si les deux diagonales sont de même longueur.
Identités trigonométriques
Les quatre angles d'un quadrilatère simple ABCD satisfont aux identités suivantes :
\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}+\sin{D}=4\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A+C}{ 2}}\sin{\frac{A+D}{2}}
et
\frac{\tan{A}\tan{B}-\tan{C}\tan{D}}{\tan{A}\tan{C}-\tan{B}\tan{D}}=\ frac{\tan{(A+C)}}{\tan{(A+B)}}.
Aussi,
\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+\tan{D}}{\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}+\cot{D }}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}.
Dans les deux dernières formules, aucun angle ne peut être droit, puisque tan 90° n'est pas défini.
Inégalités
Zone
Si un quadrilatère convexe a les côtés consécutifs a, b, c, d et les diagonales p, q, alors son aire K satisfait
K\le \tfrac{1}{4}(a+c)(b+d) avec égalité uniquement pour un rectangle.
K\le \tfrac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2) avec égalité uniquement pour un carré.
K\le \tfrac{1}{4}(p^2+q^2) avec égalité uniquement si les diagonales sont perpendiculaires et égales.
K\le \tfrac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)} avec égalité uniquement pour un rectangle.
De la formule de Bretschneider, il résulte directement que l'aire d'un quadrilatère satisfait
K \le \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
avec égalité si et seulement si le quadrilatère est cyclique ou dégénéré tel qu'un côté est égal à la somme des trois autres (il s'est effondré en un segment de droite, donc l'aire est nulle).
L'aire de tout quadrilatère satisfait également à l'inégalité.
\displaystyle K\le \tfrac{1}{2}\sqrt[3]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}.
En notant le périmètre L, on a
K\le \tfrac{1}{16}L^2,
avec égalité uniquement dans le cas d'un carré.
L'aire d'un quadrilatère convexe satisfait également
K\le\tfrac{1}{2}pq
pour les longueurs diagonales p et q, avec égalité si et seulement si les diagonales sont perpendiculaires.
Diagonales et bimédianes
Un corollaire du théorème du quadrilatère d'Euler est l'inégalité
 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge p^2 ​​+ q^2
où l’égalité est vraie si et seulement si le quadrilatère est un parallélogramme.
Euler a également généralisé le théorème de Ptolémée, qui est une égalité dans un quadrilatère cyclique, en une inégalité pour un quadrilatère convexe. Il déclare que
 pq \le ac + bd
où il y a égalité si et seulement si le quadrilatère est cyclique. C'est ce qu'on appelle souvent l'inégalité de Ptolémée.
Dans tout quadrilatère convexe, les bimédianes m, n et les diagonales p, q sont liées par l'inégalité
pq \leq m^2+n^2,
avec l'égalité si et seulement si les diagonales sont égales. Josefsson, Martin, "Propriétés des quadrilatères équidiagonaux", Forum Geographicorum, 14 (2014), 129-144. [http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html] Cela découle directement de l'identité quadrilatérale m^2+n^2
\tfrac{1}{2}(p^2+q^2).
Côtés
Les côtés a, b, c et d de tout quadrilatère satisfont aux inégalités proposées dans « Crux Mathematicorum », [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].
a^2+b^2+c^2 > \frac{d^2}{3}
et
a^4+b^4+c^4 \geq \frac{d^4}{27}.
Propriétés maximales et minimales
Parmi tous les quadrilatères de périmètre donné, celui qui a la plus grande aire est le carré. C'est ce qu'on appelle le théorème isopérimétrique des quadrilatères. C'est une conséquence directe de l'inégalité des zones
K\le \tfrac{1}{16}L^2
où K est l'aire d'un quadrilatère convexe de périmètre L. L'égalité est vraie si et seulement si le quadrilatère est un carré. Le théorème duel stipule que de tous les quadrilatères d’aire donnée, le carré a le périmètre le plus court.
Le quadrilatère de longueurs de côtés données qui a l'aire maximale est le quadrilatère cyclique.
De tous les quadrilatères convexes ayant des diagonales données, le quadrilatère orthodiagonal a la plus grande aire. Ceci est une conséquence directe du fait que l’aire d’un quadrilatère convexe satisfait
K=\tfrac{1}{2}pq\sin{\theta}\le \tfrac{1}{2}pq,
où θ est l'angle entre les diagonales p et q. L’égalité est vraie si et seulement si θ = 90°.
Si P est un point intérieur d’un quadrilatère convexe ABCD, alors
AP+BP+CP+DP\ge AC+BD.
De cette inégalité il résulte que le point à l’intérieur d’un quadrilatère qui minimise la somme des distances aux sommets est l’intersection des diagonales. Ce point est donc le point de Fermat d'un quadrilatère convexe. Alsina, Claudi et Nelsen, Roger, Charming Proofs. Un voyage dans des mathématiques élégantes, Mathematical Association of America, 2010, pp. 114, 119, 120, 261.
Points et lignes remarquables dans un quadrilatère convexe
Le centre d'un quadrilatère peut être défini de plusieurs manières différentes. Le « centre de gravité des sommets » vient du fait de considérer le quadrilatère comme étant vide mais ayant des masses égales à ses sommets. Le « centroïde latéral » vient du fait que les côtés ont une masse constante par unité de longueur. Le centre habituel, appelé simplement centroïde (centre de l'aire), vient du fait de considérer la surface du quadrilatère comme ayant une densité constante. Ces trois points ne sont en général pas tous le même point.
Le « centre de gravité du sommet » est l'intersection des deux bimédianes. Comme pour tout polygone, les coordonnées x et y du centre de gravité du sommet sont les moyennes arithmétiques des coordonnées x et y des sommets.
Le « centroïde de l’aire » du quadrilatère ABCD peut être construit de la manière suivante. Soit Ga, Gb, Gc, Gd les centroïdes respectivement des triangles BCD, ACD, ABD, ABC. Alors le « centroïde de l’aire » est l’intersection des droites GaGc et GbGd.
Dans un quadrilatère convexe général ABCD, il n'y a pas d'analogies naturelles avec le centre circonscrit et l'orthocentre d'un triangle. Mais deux de ces points peuvent être construits de la manière suivante. Soient respectivement Oa, Ob, Oc, Od les centres circonscrits des triangles BCD, ACD, ABD, ABC ; et notons Ha, Hb, Hc, Hd les orthocentres dans les mêmes triangles. Alors l’intersection des droites OaOc et ObOd est appelée quasi-circoncentre, et l’intersection des droites HaHc et HbHd est appelée quasi-orthocentre du quadrilatère convexe. Ces points peuvent être utilisés pour définir une ligne d'Euler d'un quadrilatère. Dans un quadrilatère convexe, le quasi-orthocentre H, le « centroïde de l'aire » G et le quasi-circoncentre O sont colinéaires dans cet ordre, et HG
 2GO.
On peut également définir un centre E quasi-neuf points comme l'intersection des droites EaEc et EbEd, où Ea, Eb, Ec, Ed sont respectivement les centres à neuf points des triangles BCD, ACD, ABD, ABC. Alors E est le milieu de OH.
Une autre ligne remarquable dans un quadrilatère convexe non parallélogramme est la ligne de Newton, qui relie les milieux des diagonales et qui contient l'intersection des bimédianes.
Autres propriétés des quadrilatères convexes
*Laissez les carrés extérieurs être dessinés de tous les côtés d’un quadrilatère. Les segments reliant les centres des carrés opposés sont (a) de même longueur et (b) perpendiculaires. Ces centres sont donc les sommets d'un quadrilatère orthodiagonal. C'est ce qu'on appelle le théorème de Van Aubel.
*Pour tout quadrilatère simple avec des longueurs d'arête données, il existe un quadrilatère cyclique avec les mêmes longueurs d'arête.Peter, Thomas, "Maximizing the Area of ​​a Quadrilatère", The College Mathematics Journal, Vol. 34, n° 4 (septembre 2003), pp. 315-316.
*Les quatre petits triangles formés par les diagonales et les côtés d'un quadrilatère convexe ont la propriété que le produit des aires de deux triangles opposés est égal au produit des aires des deux autres triangles.
Taxonomie
Une taxonomie hiérarchique des quadrilatères est illustrée par la figure de droite. Les classes inférieures sont des cas particuliers des classes supérieures auxquelles elles sont liées. Notez que « trapèze » fait ici référence à la définition nord-américaine (l'équivalent britannique est un trapèze). Des définitions inclusives sont utilisées partout.
Incliner les quadrilatères
Un quadrilatère non plan est appelé quadrilatère incliné. Des formules permettant de calculer ses angles dièdres à partir des longueurs des bords et de l'angle entre deux bords adjacents ont été dérivées pour travailler sur les propriétés de molécules telles que le cyclobutane qui contiennent un anneau « plissé » de quatre atomes. Voir le polygone incliné pour en savoir plus. Historiquement, le terme quadrilatère gauche était également utilisé pour désigner un quadrilatère incliné. Un quadrilatère asymétrique et ses diagonales forment un tétraèdre (éventuellement non régulier), et inversement, chaque quadrilatère asymétrique provient d'un tétraèdre où une paire d'arêtes opposées est supprimée.