Quelle est la somme des angles intérieurs d’un hexagone en degrés ?
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En géométrie, un hexagone (du grec ἕξ hex, "six" et γωνία, gonía, "coin, angle") est un polygone à six côtés ou 6-gon. Le total des angles internes de tout hexagone est de 720°.
En géométrie, un hexagone (du grec ἕξ hex, "six" et γωνία, gonía, "coin, angle") est un polygone à six côtés ou 6-gon. Le total des angles internes de tout hexagone est de 720°.

Hexagone régulier

Un hexagone régulier a le symbole Schläfli {6} et peut également être construit comme un triangle équilatéral tronqué, t{3}, qui alterne deux types d'arêtes.

Un hexagone régulier est défini comme un hexagone à la fois équilatéral et équiangulaire. Il est bicentrique, c'est-à-dire qu'il est à la fois cyclique (ayant un cercle circonscrit) et tangentiel (ayant un cercle inscrit).

La longueur commune des côtés est égale au rayon du cercle circonscrit, qui est égal à \tfrac{2\sqrt{3}}{3} fois l'apothème (rayon du cercle inscrit). Tous les angles internes sont de 120 degrés. Un hexagone régulier a 6 symétries de rotation (symétrie de rotation d'ordre six) et 6 symétries de réflexion (six axes de symétrie), constituant le groupe dièdre D6. Les diagonales les plus longues d'un hexagone régulier, reliant des sommets diamétralement opposés, mesurent deux fois la longueur d'un côté. De là, on peut voir qu'un triangle dont le sommet est au centre de l'hexagone régulier et partageant un côté avec l'hexagone est équilatéral, et que l'hexagone régulier peut être divisé en six triangles équilatéraux.

Comme les carrés et les triangles équilatéraux, les hexagones réguliers s'emboîtent sans aucun espace pour carreler le plan (trois hexagones se rencontrant à chaque sommet) et sont donc utiles pour construire des pavages. Les cellules d'un nid d'abeilles de ruche sont hexagonales pour cette raison et parce que leur forme permet une utilisation efficace de l'espace et des matériaux de construction. Le diagramme de Voronoï d'un réseau triangulaire régulier est le pavage en nid d'abeille d'hexagones. Il n'est généralement pas considéré comme un triambus, bien qu'il soit équilatéral.

Paramètres

L’aire d’un hexagone régulier de côté t est donnée par
A = \frac{3 \sqrt{3}}{2}t^2 \simeq 2,598 t^2.

Une formule alternative pour la zone est

A=\frac{3}{2}d \cdot t

où la longueur d est la distance entre les côtés parallèles (également appelée distance plat à plat), ou la hauteur de l'hexagone lorsqu'il repose sur un côté comme base, ou le diamètre du cercle inscrit.

Une autre formule alternative pour l'aire si seule la distance d'un plat à l'autre, d, est connue, est donnée par
A = \frac{ \sqrt{3}}{2} d^2 \simeq 0.866d^2.

La zone peut également être trouvée par les formules

A=ap/2

et

 A\ =\ {2}a^2\sqrt{3}\ \simeq\ 3.464 a^2,

où a est l'apothème et p est le périmètre.

L'hexagone régulier remplit la fraction \tfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\environ 0,8270 de son cercle circonscrit.

Le périmètre d’un hexagone régulier de côté t est 6t.

Son diamètre maximal, qui est égal à sa longueur diagonale la plus longue, est de 2t, et son diamètre minimal, qui est égal à sa longueur diagonale la plus courte, est \scriptstyle d\ =\ t\sqrt{3}. Ainsi, le rayon circonscrit est t et le rayon intérieur est \scriptstyle t\frac\sqrt{3}{2}.

Si un hexagone régulier a des sommets successifs A, B, C, D, E, F et si P est un point quelconque du cercle circonscrit entre B et C, alors .

Symétrie

L'hexagone régulier a une symétrie Dih6, d'ordre 12. Il existe 3 sous-groupes dièdres : Dih3, Dih2 et Dih1, et 4 sous-groupes cycliques : Z6, Z3, Z2 et Z1.

Ces symétries expriment 9 symétries distinctes d’un hexagone régulier. John Conway les étiquette par une lettre et un ordre groupé. r12 est une symétrie totale et a1 n’est pas une symétrie. d6, un hexagone isogonal construit par quatre miroirs peut alterner des arêtes longues et courtes, et p6, un hexagone isotoxal construit avec des longueurs d'arêtes égales, mais des sommets alternant deux angles internes différents. Ces deux formes sont duales l’une de l’autre et ont la moitié de l’ordre de symétrie de l’hexagone régulier. Les formes i4 sont des hexagones réguliers aplatis ou étirés selon une direction de symétrie. Il peut être vu comme un losange allongé, tandis que d2 et p2 peuvent être vus comme des cerfs-volants allongés horizontalement et verticalement. Les hexagones g2, dont les côtés opposés sont parallèles, sont également appelés parallélogones hexagonaux.

Chaque symétrie de sous-groupe autorise un ou plusieurs degrés de liberté pour les formes irrégulières. Seul le sous-groupe g6 n'a pas de degrés de liberté mais peut être vu comme des arêtes dirigées.

Les hexagones de symétrie g2, i4 et r12, en tant que parallélogrammes, peuvent mosaïquer le plan euclidien par translation. D'autres formes hexagonales peuvent carreler le plan avec différentes orientations.

Polygones et pavages associés

Un hexagone régulier a le symbole Schläfli {6}. Un hexagone régulier fait partie du pavage hexagonal régulier, {6,3}, avec 3 hexagonaux autour de chaque sommet.

Un hexagone régulier peut également être créé sous la forme d'un triangle équilatéral tronqué, avec le symbole de Schläfli t{3}. Vu avec deux types (couleurs) d’arêtes, cette forme n’a qu’une symétrie D3.

Un hexagone tronqué, t{6}, est un dodécagone, {12}, alternant 2 types (couleurs) d'arêtes. Un hexagone alterné, h{6}, est un triangle équilatéral, {3}. Un hexagone régulier peut être étoilé avec des triangles équilatéraux sur ses bords, créant ainsi un hexagramme. Un hexagone régulier peut être découpé en 6 triangles équilatéraux en ajoutant un point central. Ce motif se répète dans le carrelage triangulaire régulier.

Un hexagone régulier peut être étendu en un dodécagone régulier en ajoutant des carrés alternés et des triangles équilatéraux autour de lui. Ce motif se répète dans le carrelage rhombitrihexagonal.

Structures hexagonales

Des nids d'abeilles à la Chaussée des Géants, les motifs hexagonaux sont répandus dans la nature en raison de leur efficacité. Dans une grille hexagonale, chaque ligne est aussi courte que possible si une grande surface doit être remplie avec le moins d’hexagones. Cela signifie que les nids d'abeilles nécessitent moins de cire pour être construits et gagnent en résistance sous compression.

Les hexagones irréguliers avec des bords opposés parallèles sont appelés parallélogones et peuvent également carreler le plan par translation. En trois dimensions, les prismes hexagonaux avec des faces parallèles opposées sont appelés paralléloèdres et ceux-ci peuvent mosaïquer l'espace 3 par translation.

Tesselations par hexagones

En plus de l'hexagone régulier, qui détermine un pavage unique du plan, tout hexagone irrégulier qui satisfait au critère de Conway carrelera le plan.

Hexagone inscrit dans une section conique

Le théorème de Pascal (également connu sous le nom de « théorème de l'Hexagrammum Mysticum ») stipule que si un hexagone arbitraire est inscrit dans une section conique et que des paires de côtés opposés sont étendues jusqu'à ce qu'elles se rencontrent, les trois points d'intersection se trouveront sur une ligne droite, le « Ligne Pascal" de cette configuration.

Hexagone cyclique

L'hexagone de Lemoine est un hexagone cyclique (inscrit dans un cercle) dont les sommets sont donnés par les six intersections des arêtes d'un triangle et les trois lignes parallèles aux arêtes passant par son point symédien.

Si les côtés successifs d'un hexagone cyclique sont a, b, c, d, e, f, alors les trois diagonales principales se coupent en un seul point si et seulement si .

Si, pour chaque côté d'un hexagone cyclique, les côtés adjacents s'étendent jusqu'à leur intersection, formant un triangle extérieur au côté donné, alors les segments reliant les centres circonscrits des triangles opposés sont concourants.

Si un hexagone a des sommets sur le cercle circonscrit d'un triangle aigu aux six points (y compris trois sommets du triangle) où les altitudes étendues du triangle rencontrent le cercle circonscrit, alors l'aire de l'hexagone est le double de l'aire du triangle. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).

Hexagone tangent à une section conique

Soit ABCDEF un hexagone formé de six droites tangentes de section conique. Ensuite, le théorème de Brianchon stipule que les trois diagonales principales AD, BE et CF se coupent en un seul point.

Dans un hexagone tangent à un cercle et ayant des côtés consécutifs a, b, c, d, e et f,
   
a+c+e=b+d+f.

Triangles équilatéraux sur les côtés d'un hexagone arbitraire

Si un triangle équilatéral est construit extérieurement de chaque côté d’un hexagone, alors les milieux des segments reliant les centroïdes des triangles opposés forment un autre triangle équilatéral.

Incliner l'hexagone

Un hexagone asymétrique est un polygone incliné avec 6 sommets et arêtes mais n'existant pas sur le même plan. L'intérieur d'un tel hexagone n'est généralement pas défini. Un hexagone incliné en zigzag a des sommets alternant entre deux plans parallèles.

Un hexagone incliné régulier est transitif par ses sommets avec des longueurs d'arêtes égales. En 3 dimensions, ce sera un hexagone incliné en zigzag et peut être vu dans les sommets et les bords latéraux d'un antiprisme triangulaire avec la même symétrie D3d, [2+,6], ordre 12.

Le cube et l'octaèdre (identiques à l'antiprisme triangulaire) ont des hexagones asymétriques réguliers comme polygones de Petrie.

Polygones de Petrie

L'hexagone incliné régulier est le polygone de Petrie pour ces polyèdres et polytopes réguliers, uniformes et doubles de dimension supérieure, illustrés dans ces projections orthogonales inclinées :

Hexagone équilatéral convexe

Une diagonale principale d'un hexagone est une diagonale qui divise l'hexagone en quadrilatères. Dans tout hexagone équilatéral convexe (un avec tous les côtés égaux) de côté commun a, il existe des inégalités proposées dans « Crux Mathematicorum », [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf]. une diagonale principale d1 telle que

\frac{d_1}{a} \leq 2

et une diagonale principale d2 telle que

\frac{d_2}{a} > \sqrt{3}.
Polyèdres avec hexagones

Il n'existe pas de solide platonicien composé uniquement d'hexagones réguliers, car les hexagones se tesselent, ne permettant pas au résultat de "se replier". Les solides d'Archimède avec quelques faces hexagonales sont le tétraèdre tronqué, l'octaèdre tronqué, l'icosaèdre tronqué (de la renommée du ballon de football et du fullerène), le cuboctaèdre tronqué et l'icosidodécaèdre tronqué. Ces hexagones peuvent être considérés comme des triangles tronqués, avec des diagrammes de Coxeter de la forme et .

Il existe d'autres polyèdres de symétrie avec des hexagones étirés ou aplatis, comme ces polyèdres de Goldberg G(2,0) :

Il existe également 9 solides de Johnson avec des hexagones réguliers :

Hexagones : naturels et fabriqués par l'homme

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]
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Fichier : Grange hexagonaleKewauneeCountyWisconsinWIS42.jpg|Grange hexagonale
Image : Reading the Hexagon Theatre.jpg | The Hexagon, un théâtre hexagonal à Reading, Berkshire
Image:Hexaschach.jpg|Les échecs hexagonaux de Władysław Gliński
Image : Pavillon chinois.jpg|Pavillon asiatique.jpg