Quel nombre a la racine carrée (à quatre décimales près) de 1,4142 ? 1; 2 ; 3 ; ou 4 ?
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En mathématiques, la notion de nombre s'est étendue au fil des siècles pour inclure les nombres négatifs, les nombres rationnels tels que \frac{1}{2} et -\frac{2}{3}, les nombres réels tels que \sqrt{2 } et \pi, nombres complexes, qui étendent les nombres réels en incluant \sqrt{-1}, et parfois des objets supplémentaires. Les calculs avec des nombres sont effectués à l'aide d'opérations arithmétiques, les plus familières étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'exponentiation. Leur étude ou leur utilisation s'appelle l'arithmétique. Le même terme peut également désigner la théorie des nombres, l'étude des propriétés des nombres naturels. Les nombres les plus connus sont les nombres naturels (parfois appelés nombres entiers ou nombres à compter) : 1, 2, 3, etc. Traditionnellement, la séquence de nombres naturels commençait par 1 (0 n'était même pas considéré comme un nombre pour les Grecs de l'Antiquité.) Cependant, au XIXe siècle, les théoriciens des ensembles et d'autres mathématiciens ont commencé à inclure 0 (cardinalité de l'ensemble vide, c'est-à-dire 0 élément, où 0 est donc le plus petit nombre cardinal) dans l'ensemble des nombres naturels. Aujourd'hui, différents mathématiciens utilisent le terme pour décrire les deux ensembles, y compris 0 ou non. Le symbole mathématique de l'ensemble de tous les nombres naturels est N, également écrit \mathbb{N}, et parfois \mathbb{N}_0 ou \mathbb{N}_1 lorsqu'il faut indiquer si l'ensemble doit commencer par 0 ou 1, respectivement. Dans le système numérique en base 10, utilisé aujourd'hui presque universellement pour les opérations mathématiques, les symboles des nombres naturels sont écrits à l'aide de dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Dans le système de base 10, le chiffre le plus à droite d'un nombre naturel a une valeur de position de 1, et un chiffre sur deux a une valeur de position dix fois supérieure à celle du chiffre situé à sa droite. {1 \sur 2} = {2 \sur 4}.\, Les nombres réels incluent tous les nombres de mesure. Le symbole des nombres réels est R, également écrit \mathbb{R}. Les nombres réels sont généralement représentés à l'aide de chiffres décimaux, dans lesquels un point décimal est placé à droite du chiffre de valeur 1. Chaque chiffre à droite du point décimal a une valeur de position correspondant à un dixième de la valeur de position du chiffre à sa gauche. Par exemple, 123,456 représente , ou, en mots, cent, deux dizaines, trois uns, quatre dixièmes, cinq centièmes et six millièmes. Une représentation décimale finie nous permet de représenter exactement uniquement les nombres entiers et les nombres rationnels dont les dénominateurs n'ont que des facteurs premiers qui sont des facteurs de dix. Ainsi, la moitié vaut 0,5, un cinquième vaut 0,2, un dixième vaut 0,1 et un cinquantième vaut 0,02. Pour représenter le reste des nombres réels, il faut une séquence infinie de chiffres après la virgule. Puisqu'il est impossible d'écrire une infinité de chiffres, les nombres réels sont généralement représentés en arrondissant ou en tronquant cette séquence, ou en établissant un modèle, tel que 0,333..., avec des points de suspension pour indiquer que le modèle continue. Ainsi 123,456 est une approximation de tout nombre réel entre et (arrondi) ou de tout nombre réel entre et (troncature). Les nombres réels négatifs sont écrits avec un signe moins précédent : -123,456. \pi = 3,14159265358979\points \sqrt{2} = 1,41421356237 \points\, (la racine carrée de 2, c'est-à-dire le nombre positif dont le carré est 2). Lorsqu’un nombre réel représente une mesure, il existe toujours une marge d’erreur. Ceci est souvent indiqué en arrondissant ou en tronquant une décimale, de sorte que les chiffres suggérant une plus grande précision que la mesure elle-même soient supprimés. Les chiffres restants sont appelés chiffres significatifs. Par exemple, les mesures avec une règle peuvent rarement être effectuées sans une marge d'erreur d'au moins 0,001 mètre. Si les côtés d'un rectangle mesurent 1,23 mètres et 4,56 mètres, alors la multiplication donne une aire pour le rectangle de . Étant donné que seuls les deux premiers chiffres après la virgule sont significatifs, ce chiffre est généralement arrondi à 5,61. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n’est pas le produit de deux entiers positifs plus petits. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11. Les nombres premiers ont été largement étudiés depuis plus de 2000 ans et ont suscité de nombreuses questions, dont seules certaines ont trouvé une réponse. L’étude de ces questions s’appelle la théorie des nombres. Un exemple de question qui reste encore sans réponse est de savoir si chaque nombre pair est la somme de deux nombres premiers. C'est ce qu'on appelle la conjecture de Goldbach. Les derniers Olmèques du centre-sud du Mexique ont commencé à utiliser un vrai zéro (un glyphe de coquille) dans le Nouveau Monde, peut-être vers 40 avant JC, mais certainement vers 40 avant JC, qui est devenu une partie intégrante des chiffres mayas et du calendrier maya. L'arithmétique maya utilisait la base 4 et la base 5 écrites en base 20. Sanchez, en 1961, a signalé un boulier "doigt" en base 4 et base 5. Un autre vrai zéro a été utilisé dans les tableaux aux côtés des chiffres romains en 525 (première utilisation connue par Dionysius Exiguus), mais comme un mot ne signifiant rien, pas comme un symbole. Lorsque la division produisait 0 comme reste, , qui ne signifiait rien non plus, était utilisé. Ces zéros médiévaux furent utilisés par tous les futurs informaticiens médiévaux (calculatrices de Pâques). Une utilisation isolée de leur initiale, N, a été utilisée dans un tableau de chiffres romains par Bede ou un collègue à propos de 725, un vrai symbole zéro. Une première utilisation documentée du zéro par Brahmagupta (dans le Brāhmasphuṭasiddhānta) date de 628. Il traitait 0 comme un nombre et discutait des opérations le impliquant, y compris la division. À cette époque (au VIIe siècle), le concept avait clairement atteint le Cambodge sous forme de chiffres khmers, et la documentation montre que l'idée s'est ensuite répandue en Chine et dans le monde islamique. Au cours des années 600, des nombres négatifs étaient utilisés en Inde pour représenter les dettes. La référence précédente de Diophante a été discutée plus explicitement par le mathématicien indien Brahmagupta, dans Brāhmasphuṭasiddhānta 628, qui a utilisé des nombres négatifs pour produire la formule quadratique de forme générale qui reste utilisée aujourd'hui. Cependant, au XIIe siècle en Inde, Bhaskara donne des racines négatives pour les équations quadratiques, mais dit que la valeur négative « ne doit pas être prise dans ce cas, car elle est inadéquate ; les gens n'approuvent pas les racines négatives ». Les mathématiciens européens, pour la plupart, ont résisté au concept de nombres négatifs jusqu'au XVIIe siècle, bien que Fibonacci ait autorisé des solutions négatives aux problèmes financiers où elles pouvaient être interprétées comme des dettes (chapitre 13 du Liber Abaci, 1202) et plus tard comme des pertes (en ) . Dans le même temps, les Chinois indiquaient les nombres négatifs en traçant un trait diagonal passant par le chiffre différent de zéro le plus à droite du chiffre du nombre positif correspondant. La première utilisation de nombres négatifs dans une œuvre européenne a été réalisée par Nicolas Chuquet au XVe siècle. Il les a utilisés comme exposants, mais les a qualifiés de « nombres absurdes ». Le concept de fractions décimales est étroitement lié à la notation de valeur de position décimale ; les deux semblent s’être développés en tandem. Par exemple, il est courant que le sutra mathématique jaïn inclue des calculs d'approximations de fractions décimales de pi ou de la racine carrée de 2. De même, les textes mathématiques babyloniens ont toujours utilisé des fractions sexagésimales (base 60) avec une grande fréquence. La première utilisation connue des nombres irrationnels se trouve dans les Sulba Sutras indiens composés entre 800 et 500 avant JC. Les premières preuves d'existence de nombres irrationnels sont généralement attribuées à Pythagore, plus précisément au pythagoricien Hippase de Métaponte, qui a produit une preuve (très probablement géométrique) de l'irrationalité de la racine carrée de 2. L'histoire raconte qu'Hippase a découvert les nombres irrationnels lorsque essayer de représenter la racine carrée de 2 sous forme de fraction. Cependant, Pythagore croyait au caractère absolu des nombres et ne pouvait accepter l’existence de nombres irrationnels. Il ne pouvait pas réfuter leur existence par la logique, mais il ne pouvait pas accepter des chiffres irrationnels, c'est pourquoi il a condamné Hippasus à mort par noyade. Le XVIe siècle a amené l’Europe à accepter définitivement les nombres intégraux et fractionnaires négatifs. Au XVIIe siècle, les mathématiciens utilisaient généralement des fractions décimales avec une notation moderne. Ce n'est cependant qu'au XIXe siècle que les mathématiciens ont séparé les irrationnels en parties algébriques et transcendantales, et ont entrepris à nouveau l'étude scientifique des irrationnels. Elle était restée presque en sommeil depuis Euclide. En 1872, fut publiée les théories de Karl Weierstrass (par son élève Kossak), Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) et Richard Dedekind. En 1869, Méray avait pris le même point de départ que Heine, mais la théorie est généralement référée à l'année 1872. La méthode de Weierstrass a été entièrement exposée par Salvatore Pincherle (1880), et celle de Dedekind a acquis une importance supplémentaire à travers les travaux ultérieurs de l'auteur ( 1888) et approbation de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor et Heine fondent leurs théories sur des séries infinies, tandis que Dedekind fonde la sienne sur l'idée d'une coupure (Schnitt) dans le système des nombres réels, séparant tous les nombres rationnels en deux groupes possédant certaines propriétés caractéristiques. Le sujet a reçu des contributions ultérieures de la part de Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101) et Méray. La recherche de racines d'équations quintiques et de degrés supérieurs a été un développement important, le théorème d'Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) a montré qu'elles ne pouvaient pas être résolues par des radicaux (formules impliquant uniquement des opérations arithmétiques et des racines). Il était donc nécessaire de considérer l’ensemble plus large des nombres algébriques (toutes les solutions des équations polynomiales). Galois (1832) a lié les équations polynomiales à la théorie des groupes, donnant naissance au domaine de la théorie de Galois. Les fractions continues, étroitement liées aux nombres irrationnels (et dues à Cataldi, 1613), ont retenu l'attention d'Euler et, au début du XIXe siècle, ont été mises en évidence grâce aux écrits de Joseph Louis Lagrange. D'autres contributions remarquables ont été apportées par Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) et Günther (1872). Ramus (1855) a d'abord relié le sujet aux déterminants, ce qui a abouti, avec les contributions ultérieures de Heine, Möbius et Günther, à la théorie des Kettenbruchdeterminanten. L'existence des nombres transcendantaux a été établie pour la première fois par Liouville (1844, 1851). Hermite a prouvé en 1873 que e est transcendantal et Lindemann a prouvé en 1882 que π est transcendantal. Enfin, Cantor a montré que l’ensemble de tous les nombres réels est indénombrable mais que l’ensemble de tous les nombres algébriques est dénombrable, il existe donc un nombre indénombrable de nombres transcendantaux. \left ( \sqrt{-1}\right )^2 \sqrt{-1}\sqrt{-1}
Un nombre est un objet mathématique utilisé pour compter, mesurer et étiqueter. Les exemples originaux sont les nombres naturels , , , et ainsi de suite. Un symbole de notation qui représente un nombre est appelé un chiffre. En plus de leur utilisation pour compter et mesurer, les chiffres sont souvent utilisés pour les étiquettes (comme pour les numéros de téléphone), pour les commandes (comme pour les numéros de série) et pour les codes (comme pour les ISBN). Dans l'usage courant, le nombre peut faire référence à un symbole, un mot ou une abstraction mathématique.
En mathématiques, la notion de nombre s'est étendue au fil des siècles pour inclure les nombres négatifs, les nombres rationnels tels que \frac{1}{2} et -\frac{2}{3}, les nombres réels tels que \sqrt{2 } et \pi, nombres complexes, qui étendent les nombres réels en incluant \sqrt{-1}, et parfois des objets supplémentaires. Les calculs avec des nombres sont effectués à l'aide d'opérations arithmétiques, les plus familières étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'exponentiation. Leur étude ou leur utilisation s'appelle l'arithmétique. Le même terme peut également désigner la théorie des nombres, l'étude des propriétés des nombres naturels.
Outre leurs utilisations pratiques, les nombres ont une signification culturelle partout dans le monde. Par exemple, dans la société occidentale, le chiffre 13 est considéré comme porte-bonheur, et « un million » peut signifier « beaucoup ». Bien qu’elle soit désormais considérée comme une pseudoscience, la numérologie, la croyance en une signification mystique des nombres, imprègne la pensée ancienne et médiévale. La numérologie a fortement influencé le développement des mathématiques grecques, stimulant l'étude de nombreux problèmes de théorie des nombres qui sont encore d'intérêt aujourd'hui.
Au cours du XIXe siècle, les mathématiciens ont commencé à développer de nombreuses abstractions différentes partageant certaines propriétés des nombres et pouvant être considérées comme une extension du concept. Parmi les premiers figuraient les nombres hypercomplexes, qui consistent en diverses extensions ou modifications du système de nombres complexes. Aujourd'hui, les systèmes numériques sont considérés comme des exemples spéciaux importants de catégories beaucoup plus générales telles que les anneaux et les champs, et l'application du terme « nombre » est une question de convention, sans signification fondamentale.
Chiffres
Les nombres doivent être distingués des chiffres, les symboles utilisés pour représenter les nombres. Boyer a montré que les Égyptiens ont créé le premier système numérique chiffré. Les Grecs ont ensuite cartographié leurs nombres sur les alphabets ionien et dorique. Le chiffre cinq peut être représenté par le chiffre « 5 » ou par le chiffre romain « Ⅴ ». Les notations utilisées pour représenter les nombres sont discutées dans les systèmes de numérotation des articles. Un développement important dans l'histoire des chiffres a été le développement d'un système de position, comme les décimales modernes, qui présentent de nombreux avantages, comme la représentation de grands nombres avec seulement quelques symboles. Les chiffres romains nécessitent des symboles supplémentaires pour les nombres plus grands.
Classement principal
Différents types de nombres ont de nombreuses utilisations différentes. Les nombres peuvent être classés en ensembles, appelés systèmes numériques, tels que les nombres naturels et les nombres réels. Un même nombre peut s’écrire de différentes manières. Pour différentes méthodes d'expression des nombres avec des symboles, tels que les chiffres romains, voir systèmes numériques.
Nombres naturels
Les nombres les plus connus sont les nombres naturels (parfois appelés nombres entiers ou nombres à compter) : 1, 2, 3, etc. Traditionnellement, la séquence de nombres naturels commençait par 1 (0 n'était même pas considéré comme un nombre pour les Grecs de l'Antiquité.) Cependant, au XIXe siècle, les théoriciens des ensembles et d'autres mathématiciens ont commencé à inclure 0 (cardinalité de l'ensemble vide, c'est-à-dire 0 élément, où 0 est donc le plus petit nombre cardinal) dans l'ensemble des nombres naturels. Aujourd'hui, différents mathématiciens utilisent le terme pour décrire les deux ensembles, y compris 0 ou non. Le symbole mathématique de l'ensemble de tous les nombres naturels est N, également écrit \mathbb{N}, et parfois \mathbb{N}_0 ou \mathbb{N}_1 lorsqu'il faut indiquer si l'ensemble doit commencer par 0 ou 1, respectivement.
Dans le système numérique en base 10, utilisé aujourd'hui presque universellement pour les opérations mathématiques, les symboles des nombres naturels sont écrits à l'aide de dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Dans le système de base 10, le chiffre le plus à droite d'un nombre naturel a une valeur de position de 1, et un chiffre sur deux a une valeur de position dix fois supérieure à celle du chiffre situé à sa droite.
Dans la théorie des ensembles, qui peut servir de fondement axiomatique aux mathématiques modernes, les nombres naturels peuvent être représentés par des classes d’ensembles équivalents. Par exemple, le nombre 3 peut être représenté comme la classe de tous les ensembles comportant exactement trois éléments. Alternativement, en arithmétique Peano, le nombre 3 est représenté par sss0, où s est la fonction "successeur" (c'est-à-dire 3 est le troisième successeur de 0). De nombreuses représentations différentes sont possibles ; tout ce qui est nécessaire pour représenter formellement 3 est d'inscrire trois fois un certain symbole ou un certain motif de symboles.
Entiers
Le négatif d'un entier positif est défini comme un nombre qui produit 0 lorsqu'il est ajouté à l'entier positif correspondant. Les nombres négatifs sont généralement écrits avec un signe négatif (un signe moins). A titre d'exemple, le négatif de 7 s'écrit −7, et . Lorsque l'ensemble des nombres négatifs est combiné avec l'ensemble des nombres naturels (y compris 0), le résultat est défini comme l'ensemble des nombres entiers, Z également écrit \mathbb{Z}. Ici vient la lettre Z. L'ensemble des nombres entiers forme un anneau avec les opérations addition et multiplication.
Les nombres naturels forment un sous-ensemble des entiers. Comme il n’existe pas de norme commune pour l’inclusion ou non de zéro dans les nombres naturels, les nombres naturels sans zéro sont communément appelés entiers positifs, et les nombres naturels avec zéro sont appelés entiers non négatifs.
Nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous forme de fraction avec un numérateur entier et un dénominateur entier positif. Les dénominateurs négatifs sont autorisés, mais sont généralement évités, car tout nombre rationnel est égal à une fraction de dénominateur positif. Les fractions s'écrivent sous la forme de deux nombres entiers, le numérateur et le dénominateur, séparés par une barre de séparation. La fraction représente m parties d'un tout divisée en n parties égales. Deux fractions différentes peuvent correspondre au même nombre rationnel ; par exemple et sont égaux, soit :
{1 \sur 2} = {2 \sur 4}.\,
Si la valeur absolue de m est supérieure à n (censée être positive), alors la valeur absolue de la fraction est supérieure à 1. Les fractions peuvent être supérieures, inférieures ou égales à 1 et peuvent également être positives, négatives, ou 0. L'ensemble de tous les nombres rationnels inclut les entiers, puisque chaque entier peut être écrit sous forme de fraction avec le dénominateur 1. Par exemple −7 peut être écrit . Le symbole des nombres rationnels est Q (pour quotient), également écrit \mathbb{Q}.
Nombres réels
Les nombres réels incluent tous les nombres de mesure. Le symbole des nombres réels est R, également écrit \mathbb{R}. Les nombres réels sont généralement représentés à l'aide de chiffres décimaux, dans lesquels un point décimal est placé à droite du chiffre de valeur 1. Chaque chiffre à droite du point décimal a une valeur de position correspondant à un dixième de la valeur de position du chiffre à sa gauche. Par exemple, 123,456 représente , ou, en mots, cent, deux dizaines, trois uns, quatre dixièmes, cinq centièmes et six millièmes. Une représentation décimale finie nous permet de représenter exactement uniquement les nombres entiers et les nombres rationnels dont les dénominateurs n'ont que des facteurs premiers qui sont des facteurs de dix. Ainsi, la moitié vaut 0,5, un cinquième vaut 0,2, un dixième vaut 0,1 et un cinquantième vaut 0,02. Pour représenter le reste des nombres réels, il faut une séquence infinie de chiffres après la virgule. Puisqu'il est impossible d'écrire une infinité de chiffres, les nombres réels sont généralement représentés en arrondissant ou en tronquant cette séquence, ou en établissant un modèle, tel que 0,333..., avec des points de suspension pour indiquer que le modèle continue. Ainsi 123,456 est une approximation de tout nombre réel entre et (arrondi) ou de tout nombre réel entre et (troncature). Les nombres réels négatifs sont écrits avec un signe moins précédent : -123,456.
Tout nombre rationnel est aussi un nombre réel. Cependant, tout nombre réel n’est pas rationnel. Un nombre réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel. Un nombre décimal représente un nombre rationnel si et seulement s'il comporte un nombre fini de chiffres ou s'il se répète indéfiniment, après tout chiffre initial d'une chaîne finie. Par exemple, et (répétant sans cesse 3s, sinon écrit 0.). D'autre part, le nombre réel pi|, le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, est
\pi = 3,14159265358979\points
Puisque la décimale ne se termine pas et ne se répète pas indéfiniment (voir : preuve que pi est irrationnel), elle ne peut pas être écrite sous forme de fraction et constitue un exemple de nombre irrationnel. D'autres nombres irrationnels incluent
\sqrt{2} = 1,41421356237 \points\,
(la racine carrée de 2, c'est-à-dire le nombre positif dont le carré est 2).
Tout comme la même fraction peut s’écrire de plusieurs manières, la même décimale peut avoir plusieurs représentations. 1,0 et 0,999... sont deux chiffres décimaux différents représentant le nombre naturel 1. Il existe une infinité d'autres façons de représenter le nombre 1, par exemple   1,00, 1,000, etc.
Tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel. Chaque nombre réel correspond à un point sur la droite numérique. Les nombres réels possèdent également une propriété importante mais hautement technique appelée propriété de la moindre limite supérieure.
Lorsqu’un nombre réel représente une mesure, il existe toujours une marge d’erreur. Ceci est souvent indiqué en arrondissant ou en tronquant une décimale, de sorte que les chiffres suggérant une plus grande précision que la mesure elle-même soient supprimés. Les chiffres restants sont appelés chiffres significatifs. Par exemple, les mesures avec une règle peuvent rarement être effectuées sans une marge d'erreur d'au moins 0,001 mètre. Si les côtés d'un rectangle mesurent 1,23 mètres et 4,56 mètres, alors la multiplication donne une aire pour le rectangle de . Étant donné que seuls les deux premiers chiffres après la virgule sont significatifs, ce chiffre est généralement arrondi à 5,61.
En algèbre abstraite, on peut montrer que tout corps ordonné complet est isomorphe aux nombres réels. Les nombres réels ne constituent cependant pas un corps algébriquement clos, car ils n’incluent pas la racine carrée de moins un.
Nombres complexes
En passant à un niveau d'abstraction plus élevé, les nombres réels peuvent être étendus aux nombres complexes. Cet ensemble de nombres est né historiquement de la recherche de formules fermées pour les racines des polynômes cubiques et quartiques. Cela a conduit à des expressions impliquant les racines carrées de nombres négatifs, et finalement à la définition d'un nouveau nombre : une racine carrée de −1, désignée par i, un symbole attribué par Leonhard Euler, et appelée unité imaginaire. Les nombres complexes sont constitués de tous les nombres de la forme
\,a + b je
où a et b sont des nombres réels. De ce fait, les nombres complexes correspondent à des points sur le plan complexe, un espace vectoriel à deux dimensions réelles. Dans l’expression , le nombre réel a est appelé partie réelle et b est appelé partie imaginaire. Si la partie réelle d'un nombre complexe est 0, alors le nombre est appelé nombre imaginaire ou purement imaginaire ; si la partie imaginaire est 0, alors le nombre est un nombre réel. Les nombres réels sont donc un sous-ensemble des nombres complexes. Si les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe sont toutes deux des nombres entiers, alors le nombre est appelé entier gaussien. Le symbole des nombres complexes est C ou \mathbb{C}.
En algèbre abstraite, les nombres complexes sont un exemple de champ algébriquement fermé, ce qui signifie que chaque polynôme à coefficients complexes peut être pris en compte en facteurs linéaires. Comme le système de nombres réels, le système de nombres complexe est un corps complet, mais contrairement aux nombres réels, il n'est pas ordonné. Autrement dit, cela n'a aucun sens de dire que i est supérieur à 1, ni de dire que i est inférieur à 1. En termes techniques, les nombres complexes n'ont pas la propriété de trichotomie.
Chacun des systèmes numériques mentionnés ci-dessus est un sous-ensemble approprié du système numérique suivant. Symboliquement, \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.
Sous-classes des entiers
Nombres pairs et impairs
Un nombre pair est un nombre entier « également divisible » par deux, c'est-à-dire divisible par deux sans reste ; un nombre impair est un entier qui n'est pas pair. (Le terme démodé « équidivisible » est maintenant presque toujours abrégé en « divisible ».) De manière équivalente, une autre façon de définir un nombre impair est qu'il s'agit d'un nombre entier de la forme où k est un nombre entier et un nombre pair a la forme où k est un entier.
nombres premiers
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n’est pas le produit de deux entiers positifs plus petits. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11. Les nombres premiers ont été largement étudiés depuis plus de 2000 ans et ont suscité de nombreuses questions, dont seules certaines ont trouvé une réponse. L’étude de ces questions s’appelle la théorie des nombres. Un exemple de question qui reste encore sans réponse est de savoir si chaque nombre pair est la somme de deux nombres premiers. C'est ce qu'on appelle la conjecture de Goldbach.
Une question qui a été résolue est de savoir si tout entier supérieur à un est un produit de nombres premiers d'une seule manière, à l'exception d'un réarrangement des nombres premiers. C’est ce qu’on appelle le théorème fondamental de l’arithmétique. Une preuve apparaît dans les Éléments d'Euclide.
Autres classes d'entiers
De nombreux sous-ensembles des nombres naturels ont fait l’objet d’études spécifiques et portent souvent le nom du premier mathématicien qui les a étudiés. Des exemples de tels ensembles d’entiers sont les nombres de Fibonacci et les nombres parfaits. Pour plus d’exemples, consultez Séquence entière.
Sous-classes des nombres complexes
Nombres algébriques, irrationnels et transcendantaux
Les nombres algébriques sont ceux qui sont une solution à une équation polynomiale à coefficients entiers. Les nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels sont appelés nombres irrationnels. Les nombres complexes qui ne sont pas algébriques sont appelés nombres transcendantaux. Les nombres algébriques qui sont des solutions d'une équation polynomiale monique à coefficients entiers sont appelés entiers algébriques.
Nombres calculables
Un nombre calculable, également appelé nombre récursif, est un nombre réel tel qu'il existe un algorithme qui, étant donné un nombre positif n en entrée, produit les n premiers chiffres de la représentation décimale du nombre calculable. Des définitions équivalentes peuvent être données en utilisant des fonctions μ-récursives, des machines de Turing ou du λ-calcul. Les nombres calculables sont stables pour toutes les opérations arithmétiques usuelles, y compris le calcul des racines d'un polynôme, et forment ainsi un véritable corps fermé contenant les nombres algébriques réels.
Les nombres calculables peuvent être considérés comme des nombres réels qui peuvent être représentés exactement dans un ordinateur : un nombre calculable est représenté exactement par ses premiers chiffres et par un programme permettant de calculer les chiffres supplémentaires. Cependant, les nombres calculables sont rarement utilisés en pratique. L’une des raisons est qu’il n’existe aucun algorithme permettant de tester l’égalité de deux nombres calculables. Plus précisément, il ne peut exister aucun algorithme prenant en entrée un nombre calculable et décidant dans tous les cas si ce nombre est égal à zéro ou non.
L’ensemble des nombres calculables a la même cardinalité que les nombres naturels. Par conséquent, presque tous les nombres réels ne sont pas calculables. Cependant, il est très difficile de produire explicitement un nombre réel qui ne soit pas calculable.
Extensions du concept
nombres p-adiques
Les nombres p-adiques peuvent avoir des développements infiniment longs à gauche du point décimal, de la même manière que les nombres réels peuvent avoir des développements infiniment longs à droite. Le système numérique qui en résulte dépend de la base utilisée pour les chiffres : n'importe quelle base est possible, mais une base de nombres premiers offre les meilleures propriétés mathématiques. L'ensemble des nombres p-adiques contient les nombres rationnels, mais n'est pas contenu dans les nombres complexes.
Les éléments d'un champ de fonction algébrique sur un corps fini et les nombres algébriques ont de nombreuses propriétés similaires (voir Analogie du champ de fonction). Par conséquent, ils sont souvent considérés comme des nombres par les théoriciens des nombres. Les nombres p-adiques jouent un rôle important dans cette analogie.
Nombres hypercomplexes
Certains systèmes numériques qui ne sont pas inclus dans les nombres complexes peuvent être construits à partir des nombres réels de manière à généraliser la construction des nombres complexes. On les appelle parfois nombres hypercomplexes. Ils comprennent les quaternions H, introduits par Sir William Rowan Hamilton, dans lesquels la multiplication n'est pas commutative, et les octonions, dans lesquels la multiplication n'est pas associative.
Nombres transfinis
Pour traiter des ensembles infinis, les nombres naturels ont été généralisés aux nombres ordinaux et aux nombres cardinaux. Le premier donne l'ordre de l'ensemble, tandis que le second donne sa taille. Pour les ensembles finis, les nombres ordinaux et cardinaux sont identifiés aux nombres naturels. Dans le cas infini, plusieurs nombres ordinaux correspondent au même nombre cardinal.
Numéros non standard
Les nombres hyperréalistes sont utilisés dans l'analyse non standard. Les hyperréels, ou réels non standard (généralement notés *R), désignent un champ ordonné qui est une extension appropriée du champ ordonné des nombres réels R et satisfait au principe de transfert. Ce principe permet de réinterpréter les véritables déclarations du premier ordre sur R comme de véritables déclarations du premier ordre sur *R.
Les nombres surréalistes et surréalistes étendent les nombres réels en ajoutant des nombres infinitésimaux et des nombres infiniment grands, mais forment toujours des champs.
Un numéro de relation est défini comme la classe de relations composée de toutes les relations similaires à un membre de la classe.
Histoire
Première utilisation des chiffres
Des os et d'autres artefacts ont été découverts avec des marques gravées que beaucoup pensent être des marques de pointage. Ces marques de pointage peuvent avoir été utilisées pour compter le temps écoulé, comme le nombre de jours, les cycles lunaires ou pour tenir des registres de quantités, comme celles des animaux.
Un système de comptage n'a pas de notion de valeur de position (comme dans la notation décimale moderne), ce qui limite sa représentation des grands nombres. Néanmoins, les systèmes de comptage sont considérés comme le premier type de système numérique abstrait.
Le premier système connu avec valeur de position était le système mésopotamien en base 60 (environ 3 400 av. J.-C.) et le plus ancien système en base 10 connu date de 3 100 av. J.-C. en Égypte.
Zéro
L'utilisation de 0 comme nombre doit être distinguée de son utilisation comme chiffre de remplacement dans les systèmes de valeurs de position. De nombreux textes anciens utilisaient 0. Les textes babyloniens (Irak moderne) et égyptiens l'utilisaient. Les Égyptiens utilisaient le mot nfr pour désigner un solde nul dans les écritures comptables en partie double. Les textes indiens utilisaient un mot sanskrit ou pour désigner la notion de vide. Dans les textes mathématiques, ce mot fait souvent référence au chiffre zéro.
Les archives montrent que les Grecs de l'Antiquité semblaient incertains quant au statut de 0 en tant que nombre : ils se demandaient : « comment « rien » peut-il être quelque chose ? » conduisant à d'intéressants arguments philosophiques et, à l'époque médiévale, religieux sur la nature et l'existence de 0 et du vide. Les paradoxes de Zénon d'Élée dépendent en grande partie de l'interprétation incertaine de 0. (Les Grecs de l'Antiquité se demandaient même si  était un nombre.)
Les derniers Olmèques du centre-sud du Mexique ont commencé à utiliser un vrai zéro (un glyphe de coquille) dans le Nouveau Monde, peut-être vers 40 avant JC, mais certainement vers 40 avant JC, qui est devenu une partie intégrante des chiffres mayas et du calendrier maya. L'arithmétique maya utilisait la base 4 et la base 5 écrites en base 20. Sanchez, en 1961, a signalé un boulier "doigt" en base 4 et base 5.
En 130 après JC, Ptolémée, influencé par Hipparque et les Babyloniens, utilisait un symbole pour 0 (un petit cercle avec une longue barre supérieure) dans un système numérique sexagésimal utilisant autrement des chiffres alphabétiques grecs. Parce qu'il était utilisé seul, et non comme simple espace réservé, ce zéro hellénistique était la première utilisation documentée d'un vrai zéro dans l'Ancien Monde. Dans les manuscrits byzantins ultérieurs de sa Syntaxis Mathematica (Almageste), le zéro hellénistique s'était transformé en la lettre grecque omicron (signifiant autrement 70).
Un autre vrai zéro a été utilisé dans les tableaux aux côtés des chiffres romains en 525 (première utilisation connue par Dionysius Exiguus), mais comme un mot ne signifiant rien, pas comme un symbole. Lorsque la division produisait 0 comme reste, , qui ne signifiait rien non plus, était utilisé. Ces zéros médiévaux furent utilisés par tous les futurs informaticiens médiévaux (calculatrices de Pâques). Une utilisation isolée de leur initiale, N, a été utilisée dans un tableau de chiffres romains par Bede ou un collègue à propos de 725, un vrai symbole zéro.
Une première utilisation documentée du zéro par Brahmagupta (dans le Brāhmasphuṭasiddhānta) date de 628. Il traitait 0 comme un nombre et discutait des opérations le impliquant, y compris la division. À cette époque (au VIIe siècle), le concept avait clairement atteint le Cambodge sous forme de chiffres khmers, et la documentation montre que l'idée s'est ensuite répandue en Chine et dans le monde islamique.
Nombres négatifs
Le concept abstrait des nombres négatifs a été reconnu dès 100 avant JC – 50 avant JC en Chine. Les neuf chapitres sur l'art mathématique contiennent des méthodes pour trouver les aires des figures ; des bâtonnets rouges ont été utilisés pour désigner les coefficients positifs, noirs pour les coefficients négatifs. La première référence dans une œuvre occidentale remonte au IIIe siècle après JC en Grèce. Diophante a fait référence à l'équation équivalente à (la solution est négative) en Arithmétique, disant que l'équation donnait un résultat absurde.
Au cours des années 600, des nombres négatifs étaient utilisés en Inde pour représenter les dettes. La référence précédente de Diophante a été discutée plus explicitement par le mathématicien indien Brahmagupta, dans Brāhmasphuṭasiddhānta 628, qui a utilisé des nombres négatifs pour produire la formule quadratique de forme générale qui reste utilisée aujourd'hui. Cependant, au XIIe siècle en Inde, Bhaskara donne des racines négatives pour les équations quadratiques, mais dit que la valeur négative « ne doit pas être prise dans ce cas, car elle est inadéquate ; les gens n'approuvent pas les racines négatives ».
Les mathématiciens européens, pour la plupart, ont résisté au concept de nombres négatifs jusqu'au XVIIe siècle, bien que Fibonacci ait autorisé des solutions négatives aux problèmes financiers où elles pouvaient être interprétées comme des dettes (chapitre 13 du Liber Abaci, 1202) et plus tard comme des pertes (en ) . Dans le même temps, les Chinois indiquaient les nombres négatifs en traçant un trait diagonal passant par le chiffre différent de zéro le plus à droite du chiffre du nombre positif correspondant. La première utilisation de nombres négatifs dans une œuvre européenne a été réalisée par Nicolas Chuquet au XVe siècle. Il les a utilisés comme exposants, mais les a qualifiés de « nombres absurdes ».
Pas plus tard qu'au XVIIIe siècle, il était courant d'ignorer les résultats négatifs renvoyés par les équations en supposant qu'ils n'avaient aucun sens, tout comme René Descartes l'a fait avec des solutions négatives dans un système de coordonnées cartésiennes.
Nombres rationnels
Il est probable que le concept de nombres fractionnaires remonte à la préhistoire. Les anciens Égyptiens utilisaient leur notation de fraction égyptienne pour les nombres rationnels dans des textes mathématiques tels que le papyrus mathématique Rhind et le papyrus Kahun. Les mathématiciens classiques grecs et indiens ont étudié la théorie des nombres rationnels, dans le cadre de l'étude générale de la théorie des nombres. Le plus connu d'entre eux est les Éléments d'Euclide, datant d'environ 300 avant JC. Parmi les textes indiens, le plus pertinent est le Sthananga Sutra, qui couvre également la théorie des nombres dans le cadre d'une étude générale des mathématiques.
Le concept de fractions décimales est étroitement lié à la notation de valeur de position décimale ; les deux semblent s’être développés en tandem. Par exemple, il est courant que le sutra mathématique jaïn inclue des calculs d'approximations de fractions décimales de pi ou de la racine carrée de 2. De même, les textes mathématiques babyloniens ont toujours utilisé des fractions sexagésimales (base 60) avec une grande fréquence.
Nombres irrationnels
La première utilisation connue des nombres irrationnels se trouve dans les Sulba Sutras indiens composés entre 800 et 500 avant JC. Les premières preuves d'existence de nombres irrationnels sont généralement attribuées à Pythagore, plus précisément au pythagoricien Hippase de Métaponte, qui a produit une preuve (très probablement géométrique) de l'irrationalité de la racine carrée de 2. L'histoire raconte qu'Hippase a découvert les nombres irrationnels lorsque essayer de représenter la racine carrée de 2 sous forme de fraction. Cependant, Pythagore croyait au caractère absolu des nombres et ne pouvait accepter l’existence de nombres irrationnels. Il ne pouvait pas réfuter leur existence par la logique, mais il ne pouvait pas accepter des chiffres irrationnels, c'est pourquoi il a condamné Hippasus à mort par noyade.
Le XVIe siècle a amené l’Europe à accepter définitivement les nombres intégraux et fractionnaires négatifs. Au XVIIe siècle, les mathématiciens utilisaient généralement des fractions décimales avec une notation moderne. Ce n'est cependant qu'au XIXe siècle que les mathématiciens ont séparé les irrationnels en parties algébriques et transcendantales, et ont entrepris à nouveau l'étude scientifique des irrationnels. Elle était restée presque en sommeil depuis Euclide. En 1872, fut publiée les théories de Karl Weierstrass (par son élève Kossak), Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) et Richard Dedekind. En 1869, Méray avait pris le même point de départ que Heine, mais la théorie est généralement référée à l'année 1872. La méthode de Weierstrass a été entièrement exposée par Salvatore Pincherle (1880), et celle de Dedekind a acquis une importance supplémentaire à travers les travaux ultérieurs de l'auteur ( 1888) et approbation de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor et Heine fondent leurs théories sur des séries infinies, tandis que Dedekind fonde la sienne sur l'idée d'une coupure (Schnitt) dans le système des nombres réels, séparant tous les nombres rationnels en deux groupes possédant certaines propriétés caractéristiques. Le sujet a reçu des contributions ultérieures de la part de Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101) et Méray.
La recherche de racines d'équations quintiques et de degrés supérieurs a été un développement important, le théorème d'Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) a montré qu'elles ne pouvaient pas être résolues par des radicaux (formules impliquant uniquement des opérations arithmétiques et des racines). Il était donc nécessaire de considérer l’ensemble plus large des nombres algébriques (toutes les solutions des équations polynomiales). Galois (1832) a lié les équations polynomiales à la théorie des groupes, donnant naissance au domaine de la théorie de Galois.
Les fractions continues, étroitement liées aux nombres irrationnels (et dues à Cataldi, 1613), ont retenu l'attention d'Euler et, au début du XIXe siècle, ont été mises en évidence grâce aux écrits de Joseph Louis Lagrange. D'autres contributions remarquables ont été apportées par Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) et Günther (1872). Ramus (1855) a d'abord relié le sujet aux déterminants, ce qui a abouti, avec les contributions ultérieures de Heine, Möbius et Günther, à la théorie des Kettenbruchdeterminanten.
Nombres transcendantaux et réels
L'existence des nombres transcendantaux a été établie pour la première fois par Liouville (1844, 1851). Hermite a prouvé en 1873 que e est transcendantal et Lindemann a prouvé en 1882 que π est transcendantal. Enfin, Cantor a montré que l’ensemble de tous les nombres réels est indénombrable mais que l’ensemble de tous les nombres algébriques est dénombrable, il existe donc un nombre indénombrable de nombres transcendantaux.
Infini et infinitésimaux
La première conception connue de l'infini mathématique apparaît dans le Yajur Veda, une ancienne écriture indienne, qui déclare à un moment donné : « Si vous supprimez une partie de l'infini ou ajoutez une partie à l'infini, ce qui reste est l'infini. » L'infini était un sujet d'étude philosophique populaire parmi les mathématiciens jaïns c. 400 avant JC. Ils distinguaient cinq types d'infini : infini dans une et deux directions, infini en superficie, infini partout et infini perpétuellement.
Aristote a défini la notion occidentale traditionnelle d’infini mathématique. Il faisait la distinction entre l’infini réel et l’infini potentiel – le consensus général étant que seul ce dernier avait une vraie valeur. Les Deux nouvelles sciences de Galileo Galilei discutaient de l'idée de correspondances biunivoques entre des ensembles infinis. Mais la prochaine avancée majeure dans la théorie fut réalisée par Georg Cantor ; en 1895, il publia un livre sur sa nouvelle théorie des ensembles, introduisant, entre autres choses, les nombres transfinis et formulant l'hypothèse du continu.
Dans les années 1960, Abraham Robinson a montré comment les nombres infiniment grands et infinitésimaux peuvent être rigoureusement définis et utilisés pour développer le domaine de l’analyse non standard. Le système des nombres hyperréels représente une méthode rigoureuse pour traiter les idées sur les nombres infinis et infinitésimaux qui avaient été utilisées avec désinvolture par les mathématiciens, les scientifiques et les ingénieurs depuis l'invention du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz.
Une version géométrique moderne de l'infini est donnée par la géométrie projective, qui introduit des « points idéaux à l'infini », un pour chaque direction spatiale. Chaque famille de droites parallèles dans une direction donnée est postulée pour converger vers le point idéal correspondant. Ceci est étroitement lié à l’idée des points de fuite dans le dessin en perspective.
Nombres complexes
La première référence éphémère aux racines carrées des nombres négatifs s'est produite dans les travaux du mathématicien et inventeur Héron d'Alexandrie au , lorsqu'il considérait le volume d'un tronc de pyramide impossible. Ils sont devenus plus importants lorsqu'au XVIe siècle des formules fermées pour les racines des polynômes du troisième et du quatrième degré ont été découvertes par des mathématiciens italiens tels que Niccolò Fontana Tartaglia et Gerolamo Cardano. On s'est vite rendu compte que ces formules, même si l'on ne s'intéressait qu'aux solutions réelles, nécessitaient parfois la manipulation des racines carrées de nombres négatifs.
C’était d’autant plus troublant qu’à l’époque, ils ne considéraient même pas que les chiffres négatifs étaient fondés. Lorsque René Descartes a inventé le terme « imaginaire » pour ces quantités en 1637, il l'a voulu péjoratif. (Voir nombre imaginaire pour une discussion sur la « réalité » des nombres complexes.) Une autre source de confusion était que l'équation
\left ( \sqrt{-1}\right )^2 \sqrt{-1}\sqrt{-1}
-1
semblait capricieusement incompatible avec l'identité algébrique
\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},
qui est valable pour les nombres réels positifs a et b, et a également été utilisé dans les calculs de nombres complexes avec l'un des a, b positifs et l'autre négatif. L'utilisation incorrecte de cette identité et de l'identité associée
\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}
dans le cas où a et b sont négatifs, même Euler tourmenté. Cette difficulté l'a finalement conduit à la convention consistant à utiliser le symbole spécial i à la place de \sqrt{-1} pour se prémunir contre cette erreur.
Le XVIIIe siècle voit l'œuvre d'Abraham de Moivre et de Léonhard Euler. La formule de De Moivre (1730) dit :
(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta \,
et à Euler (1748) la formule d'analyse complexe d'Euler :
\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. \,
L'existence des nombres complexes n'a pas été complètement acceptée jusqu'à ce que Caspar Wessel décrit l'interprétation géométrique en 1799. Carl Friedrich Gauss l'a redécouverte et popularisée plusieurs années plus tard, et en conséquence, la théorie des nombres complexes a connu une expansion notable. L'idée de la représentation graphique des nombres complexes était pourtant apparue dès 1685, dans le De Algebra tractatus de Wallis.
Toujours en 1799, Gauss a fourni la première preuve généralement acceptée du théorème fondamental de l'algèbre, montrant que chaque polynôme sur les nombres complexes possède un ensemble complet de solutions dans ce domaine. L'acceptation générale de la théorie des nombres complexes est due aux travaux d'Augustin Louis Cauchy et de Niels Henrik Abel, et surtout de ce dernier, qui fut le premier à utiliser avec audace les nombres complexes avec un succès bien connu.
Gauss a étudié les nombres complexes de la forme , où a et b sont entiers ou rationnels (et i est l'une des deux racines de ). Son élève, Gotthold Eisenstein, a étudié le type , où ω est une racine complexe de D'autres classes de ce type (appelées champs cyclotomiques) de nombres complexes dérivent des racines de l'unité pour des valeurs plus élevées de k. Cette généralisation est en grande partie due à Ernst Kummer, qui a également inventé les nombres idéaux, exprimés sous forme d'entités géométriques par Felix Klein en 1893.
En 1850, Victor Alexandre Puiseux franchit l'étape clé de la distinction entre pôles et points de branchement et introduit la notion de points singuliers essentiels. Cela a finalement conduit au concept de plan complexe étendu.
nombres premiers
Les nombres premiers ont été étudiés tout au long de l’histoire. Euclide a consacré un livre des Éléments à la théorie des nombres premiers ; il y prouva l'infinitude des nombres premiers et le théorème fondamental de l'arithmétique, et présenta