Pour une fraction propre, le numérateur est
inférieur au dénominateur
Les fractions courantes peuvent être classées comme correctes ou impropres. Lorsque le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs, la fraction est dite propre si le numérateur est inférieur au dénominateur, et impropre dans le cas contraire. En général, une fraction commune est dite fraction propre si la valeur absolue de la fraction est strictement inférieure à un, c'est-à-dire si la fraction est supérieure à −1 et inférieure à 1.
Une fraction (du latin ', « cassé ») représente une partie d'un tout ou, plus généralement, un nombre quelconque de parties égales. Lorsqu'elle est parlée dans l'anglais courant, une fraction décrit le nombre de parties d'une certaine taille, par exemple la moitié, les huit cinquièmes, les trois quarts. Une fraction courante, vulgaire ou simple (exemples : \tfrac{1}{2} et 17/3) se compose d'un numérateur entier affiché au-dessus d'une ligne (ou avant une barre oblique) et d'un dénominateur entier non nul, affiché en dessous (ou après) cette ligne.
Les numérateurs et les dénominateurs sont également utilisés dans des fractions qui ne sont pas courantes, notamment les fractions composées, les fractions complexes et les nombres mixtes.
Le numérateur représente un nombre de parties égales et le dénominateur, qui ne peut pas être nul, indique combien de ces parties constituent une unité ou un tout. Par exemple, dans la fraction 3/4, le numérateur 3 nous indique que la fraction représente 3 parties égales et le dénominateur 4 nous indique que 4 parties forment un tout. L'image de droite illustre \tfrac{3}{4} ou ¾ d'un gâteau.
Les nombres fractionnaires peuvent également être écrits sans utiliser de numérateurs ou de dénominateurs explicites, en utilisant des décimales, des signes de pourcentage ou des exposants négatifs (comme dans 0,01, 1 % et 10−2 respectivement, qui sont tous équivalents à 1/100). Un nombre entier tel que le nombre 7 peut être considéré comme ayant un dénominateur implicite de un : 7 est égal à 7/1.
D'autres utilisations des fractions sont de représenter des ratios et de représenter une division.
Ainsi, la fraction ¾ est également utilisée pour représenter le rapport 3:4 (le rapport de la partie au tout) et la division 3 ÷ 4 (trois divisé par quatre).
En mathématiques, l'ensemble de tous les nombres pouvant être exprimés sous la forme a/b, où a et b sont des nombres entiers et b n'est pas nul, est appelé l'ensemble des nombres rationnels et est représenté par le symbole Q, qui signifie quotient. Le test pour qu’un nombre soit rationnel est qu’il peut être écrit sous cette forme (c’est-à-dire sous forme de fraction commune). Cependant, le mot fraction est également utilisé pour décrire des expressions mathématiques qui ne sont pas des nombres rationnels, par exemple des fractions algébriques (quotients d'expressions algébriques) et des expressions contenant des nombres irrationnels, telles que √2/2 (voir racine carrée de 2) et π/4 (voir la preuve que π est irrationnel).
Vocabulaire
Dans une fraction, le nombre de parties égales décrites est le numérateur (équivalent au dividende en division) et le nombre de parties égales qui composent un tout est le dénominateur (équivalent au diviseur). De manière informelle, ils peuvent être distingués uniquement par leur placement, mais dans des contextes formels, ils sont toujours séparés par une barre de fraction. La barre de fraction peut être horizontale (comme dans −), oblique (comme dans 1/5 ou −1∕7) ou diagonale (comme dans ). Ces marques sont respectivement connues sous le nom de barre horizontale, de barre oblique (US) ou de trait (UK), de barre oblique de division et de barre oblique de fraction. En typographie, les fractions horizontales sont également connues sous le nom de « fractions en » ou « fractions de noix » et les fractions diagonales sous le nom de « fractions em », en fonction de la largeur d'une ligne qu'elles occupent.
Les dénominateurs des fractions anglaises sont généralement exprimés sous forme de nombres ordinaux, au pluriel si le numérateur n'en est pas un. (Par exemple, et sont tous deux lus comme un nombre de "cinquièmes".) Les exceptions incluent le dénominateur 2, qui est toujours lu "moitié" ou "moitiés", le dénominateur 4, qui peut également être exprimé par "quart"/" quarts" ou comme "quatrième"/"quarts", et le dénominateur 100, qui peut être alternativement exprimé comme "centième"/"centièmes" ou "pour cent". Lorsque le dénominateur est 1, il peut être exprimé en termes de « touts », mais il est plus souvent ignoré, le numérateur étant lu comme un nombre entier. (Par exemple, peut être décrit comme « trois touts » ou simplement « trois ».) Lorsque le numérateur est un, il peut être omis. (Par exemple, « un dixième » ou « chaque quart ».) Une fraction peut être exprimée sous la forme d'une composition unique, auquel cas elle est coupée, ou sous la forme d'un nombre de fractions avec un numérateur de un, auquel cas elles ne sont pas . (Par exemple, « deux cinquièmes » est la fraction et « deux cinquièmes » est la même fraction comprise comme 2 instances de .) Les fractions doivent toujours être coupées par un trait d'union lorsqu'elles sont utilisées comme adjectifs.
Alternativement, une fraction peut être décrite en la lisant comme le numérateur « sur » le dénominateur, le dénominateur étant exprimé comme un nombre cardinal. (Par exemple, peut également être exprimé par « trois sur un ».) Le terme « plus » est utilisé même dans le cas de fractions solidus, où les nombres sont placés à gauche et à droite d'une barre oblique. (Par exemple, ½ peut être lu « un demi », « un demi » ou « un sur deux ».) Les fractions avec de grands dénominateurs qui ne sont pas des puissances de dix sont souvent rendues de cette façon (par exemple, comme « un sur cent dix-sept") tandis que ceux dont les dénominateurs sont divisibles par dix sont généralement lus de la manière ordinale normale (par exemple, comme "six millionièmes", "six millionièmes" ou "six un millionième").
Formes de fractions
Fractions simples, communes ou vulgaires
Une fraction simple (également connue sous le nom de fraction commune ou fraction vulgaire) est un nombre rationnel écrit sous la forme a/b ou \tfrac{a}{b}, où a et b sont tous deux des nombres entiers.
Comme pour les autres fractions, le dénominateur (b) ne peut pas être nul. Les exemples incluent \tfrac{1}{2}, -\tfrac{8}{5}, \tfrac{-8}{5}, \tfrac{8}{-5} et 3/17.
Les fractions simples peuvent être positives ou négatives, correctes ou impropres (voir ci-dessous). Les fractions composées, les fractions complexes, les nombres mixtes et les nombres décimaux (voir ci-dessous) ne sont pas des fractions simples, cependant, à moins qu'elles ne soient irrationnelles, elles peuvent être évaluées en une fraction simple.
Fractions propres et impropres
Les fractions courantes peuvent être classées comme correctes ou impropres. Lorsque le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs, la fraction est dite propre si le numérateur est inférieur au dénominateur, et impropre dans le cas contraire. En général, une fraction commune est dite fraction propre si la valeur absolue de la fraction est strictement inférieure à un, c'est-à-dire si la fraction est supérieure à −1 et inférieure à 1.
On dit qu'il s'agit d'une fraction impropre, ou parfois d'une fraction lourde, si la valeur absolue de la fraction est supérieure ou égale à 1. Des exemples de fractions propres sont 2/3, –3/4 et 4/9 ; des exemples de fractions impropres sont 9/4, –4/3 et 3/3.
Numéros mixtes
Un nombre mixte (souvent appelé nombre mixte, également appelé fraction mixte) est la somme d'un nombre entier non nul et d'une fraction propre. Cette somme est implicite sans l'utilisation d'un opérateur visible tel que "+". Par exemple, en faisant référence à deux gâteaux entiers et aux trois quarts d'un autre gâteau, les parties entières et fractionnaires du nombre s'écrivent l'une à côté de l'autre : 2+\frac{3}{4}=2\tfrac{3}{4 }.
Cela ne doit pas être confondu avec la règle algébrique de multiplication implicite. Lorsque deux expressions algébriques sont écrites l’une à côté de l’autre, l’opération de multiplication est dite « comprise ». En algèbre, un \tfrac{b}{c} par exemple n'est pas un nombre mixte. Au lieu de cela, la multiplication est comprise où a \tfrac{b}{c} = a \times \tfrac{b}{c}.
Pour éviter toute confusion, la multiplication est souvent exprimée explicitement. Donc un \tfrac{b}{c} peut s'écrire comme
 une \times \frac{b}{c},
une \cdot \frac{b}{c},
ou
 une \left(\frac{b}{c}\right).
Une fraction impropre est une autre façon d’écrire un tout plus une partie. Un nombre fractionnaire peut être converti en fraction impropre comme suit :
#Écrivez le nombre mixte 2\tfrac{3}{4} sous la forme d'une somme 2+\tfrac{3}{4}.
#Convertissez le nombre entier en une fraction impropre avec le même dénominateur que la partie fractionnaire, 2=\tfrac{8}{4}.
#Ajoutez les fractions. La somme résultante est la fraction impropre. Dans l'exemple, 2\tfrac{3}{4}\tfrac{8}{4}+\tfrac{3}{4}
\tfrac{11}{4}.
De même, une fraction impropre peut être convertie en nombre fractionnaire comme suit :
#Divisez le numérateur par le dénominateur. Dans l'exemple, \tfrac{11}{4}, divisez 11 par 4. 11 ÷ 4 = 2 avec le reste 3.
#Le quotient (sans le reste) devient la partie entière du nombre fractionnaire. Le reste devient le numérateur de la partie fractionnaire. Dans l’exemple, 2 est la partie entière du nombre et 3 est le numérateur de la partie fractionnaire.
#Le nouveau dénominateur est le même que le dénominateur de la fraction impropre. Dans l'exemple, ils valent tous les deux 4. Ainsi \tfrac{11}{4} =2\tfrac{3}{4}.
Les nombres mixtes peuvent également être négatifs, comme dans -2\tfrac{3}{4}, ce qui équivaut à -(2+\tfrac{3}{4}) = -2-\tfrac{3}{4}.
Rapports
Un rapport est une relation entre deux nombres ou plus qui peut parfois être exprimée sous forme de fraction. Généralement, un certain nombre d'éléments sont regroupés et comparés selon un rapport, spécifiant numériquement la relation entre chaque groupe. Les ratios sont exprimés sous la forme « groupe 1 au groupe 2… au groupe n ». Par exemple, si un parc automobile comptait 12 véhicules, dont
* 2 sont blancs,
* 6 sont rouges, et
* 4 sont jaunes,
alors le rapport entre les voitures rouges, blanches et jaunes est de 6 pour 2 pour 4. Le rapport entre les voitures jaunes et les voitures blanches est de 4 pour 2 et peut être exprimé comme 4:2 ou 2:1.
Un rapport est souvent converti en fraction lorsqu’il est exprimé sous forme de rapport au tout. Dans l’exemple ci-dessus, le ratio de voitures jaunes par rapport à toutes les voitures du parking est de 4:12 ou 1:3. Nous pouvons convertir ces ratios en fraction et dire que 4/12 des voitures ou ⅓ des voitures du lot sont jaunes. Par conséquent, si une personne choisit au hasard une voiture sur le terrain, il y a une chance ou une probabilité sur trois qu’elle soit jaune.
Les réciproques et le « dénominateur invisible »
L'inverse d'une fraction est une autre fraction dont le numérateur et le dénominateur sont échangés. L'inverse de \tfrac{3}{7}, par exemple, est \tfrac{7}{3}. Le produit d’une fraction et son inverse est 1, donc l’inverse est l’inverse multiplicatif d’une fraction.
Tout nombre entier peut être écrit sous forme de fraction avec le chiffre un comme dénominateur. Par exemple, 17 peut s'écrire \tfrac{17}{1}, où 1 est parfois appelé le dénominateur invisible. Par conséquent, chaque fraction ou entier, à l’exception de zéro, a une réciproque. L'inverse de 17 est \tfrac{1}{17}.
Fractions complexes
A ne pas confondre avec les fractions impliquant des nombres complexes
Dans une fraction complexe, soit le numérateur, soit le dénominateur, ou les deux, est une fraction ou un nombre fractionnaire, correspondant à la division des fractions. Par exemple, \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}} et \frac{12\tfrac{3}{4}}{26} sont des fractions complexes. Pour réduire une fraction complexe en une fraction simple, considérez la ligne de fraction la plus longue comme représentant la division. Par exemple:
\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}\tfrac{1}{2}\times\tfrac{3}{1}
\tfrac{3}{2}=1\tfrac{1}{2}
\frac{12\tfrac{3}{4}}{26} 12\tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{1}{26}
 \tfrac{12 \cdot 4 + 3}{4} \cdot \tfrac{1}{26} \tfrac{51}{4} \cdot \tfrac{1}{26}
\tfrac{51}{104}
\frac{\tfrac{3}{2}}5\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}
\tfrac{3}{10}
\frac{8}{\tfrac{1}{3}}8\times\tfrac{3}{1}
24.
Si, dans une fraction complexe, il n’existe aucun moyen clair de déterminer quelles lignes de fraction sont prioritaires, alors l’expression est mal formée et ambiguë. Ainsi 5/10/20/40 est une expression mathématique mal construite, avec plusieurs valeurs possibles.
Fractions composées
Une fraction composée est une fraction d'une fraction, ou n'importe quel nombre de fractions liées au mot de, correspondant à une multiplication de fractions. Pour réduire une fraction composée en fraction simple, il suffit d'effectuer la multiplication (voir la section sur la multiplication). Par exemple, \tfrac{3}{4} de \tfrac{5}{7} est une fraction composée, correspondant à \tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7} = \tfrac{15 }{28}. Les termes fraction composée et fraction complexe sont étroitement liés et parfois l’un est utilisé comme synonyme de l’autre.
Fractions décimales et pourcentages
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur n'est pas donné explicitement, mais s'entend comme une puissance entière de dix. Les fractions décimales sont généralement exprimées en notation décimale dans laquelle le dénominateur implicite est déterminé par le nombre de chiffres à droite d'un séparateur décimal, dont l'apparence (par exemple, un point, un point élevé (•), une virgule) dépend de les paramètres régionaux (pour des exemples, voir séparateur décimal). Ainsi, pour 0,75, le numérateur est 75 et le dénominateur implicite est 10 à la puissance seconde, à savoir. 100, car il y a deux chiffres à droite du séparateur décimal. Dans les nombres décimaux supérieurs à 1 (comme 3,75), la partie fractionnaire du nombre est exprimée par les chiffres à droite de la virgule (avec une valeur de 0,75 dans ce cas). 3,75 peut être écrit soit sous forme de fraction impropre, 375/100, soit sous forme de nombre fractionnaire, 3\tfrac{75}{100}.
Les fractions décimales peuvent également être exprimées en notation scientifique avec des exposants négatifs, tels que , qui représente 0,0000006023. Le représente un dénominateur de . Diviser par déplace la virgule décimale de 7 places vers la gauche.
Les fractions décimales avec une infinité de chiffres à droite du séparateur décimal représentent une série infinie. Par exemple, ⅓ = 0,333... représente la série infinie 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... .
Un autre type de fraction est le pourcentage (du latin pour centum signifiant « pour cent », représenté par le symbole %), dans lequel le dénominateur implicite est toujours 100. Ainsi, 51 % signifie 51/100. Les pourcentages supérieurs à 100 ou inférieurs à zéro sont traités de la même manière, par ex. 311 % équivaut à 311/100 et −27 % équivaut à −27/100.
Le concept connexe de pour mille ou parties par mille a un dénominateur implicite de 1 000, tandis que la notation plus générale de parties par million, comme dans 75 parties par million, signifie que la proportion est de 75/1 000 000.
L’utilisation de fractions communes ou de fractions décimales est souvent une question de goût et de contexte. Les fractions communes sont utilisées le plus souvent lorsque le dénominateur est relativement petit. Par calcul mental, il est plus facile de multiplier 16 par 3/16 que de faire le même calcul en utilisant l'équivalent décimal de la fraction (0,1875). Et il est plus précis de multiplier 15 par 1/3, par exemple, que de multiplier 15 par une approximation décimale d'un tiers. Les valeurs monétaires sont généralement exprimées sous forme de fractions décimales, par exemple 3,75 $. Cependant, comme indiqué ci-dessus, dans la monnaie britannique pré-décimale, les shillings et les pence avaient souvent la forme (mais pas le sens) d'une fraction, comme par exemple 3/6 (lire « trois et six ») signifiant 3 shillings et 6 pence, et n'ayant aucun rapport avec la fraction 3/6.
Cas spéciaux
*Une fraction unitaire est une fraction vulgaire avec un numérateur de 1, par ex. \tfrac{1}{7}. Les fractions unitaires peuvent également être exprimées à l'aide d'exposants négatifs, comme dans 2−1, qui représente 1/2, et 2−2, qui représente 1/(22) ou 1/4.
*Une fraction égyptienne est la somme de fractions unitaires positives distinctes, par exemple \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}. Cette définition dérive du fait que les anciens Égyptiens exprimaient ainsi toutes les fractions sauf \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3} et \tfrac{3}{4}. Tout nombre rationnel positif peut être développé sous forme de fraction égyptienne. Par exemple, \tfrac{5}{7} peut s'écrire \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{21}. Tout nombre rationnel positif peut être écrit comme une somme de fractions unitaires d’une infinité de façons. Il existe deux façons d'écrire \tfrac{13}{17} : \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{68} et \tfrac{1}{3}+\ tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{68}.
*Une fraction dyadique est une fraction vulgaire dont le dénominateur est une puissance de deux, par ex. \tfrac{1}{8}.
Arithmétique avec des fractions
Comme les nombres entiers, les fractions obéissent aux lois commutatives, associatives et distributives, ainsi qu'à la règle interdisant la division par zéro.
Fractions équivalentes
En multipliant le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre (non nul), on obtient une fraction équivalente à la fraction originale. Cela est vrai car pour tout nombre n non nul, la fraction \tfrac{n}{n} = 1. Par conséquent, multiplier par \tfrac{n}{n} équivaut à multiplier par un, et tout nombre multiplié par un a la même valeur que le numéro d'origine. A titre d'exemple, commencez par la fraction \tfrac{1}{2}. Lorsque le numérateur et le dénominateur sont tous deux multipliés par 2, le résultat est \tfrac{2}{4}, qui a la même valeur (0,5) que \tfrac{1}{2}. Pour visualiser cela visuellement, imaginez que vous coupez un gâteau en quatre morceaux ; deux des morceaux ensemble (\tfrac{2}{4}) constituent la moitié du gâteau (\tfrac{1}{2}).
Diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre non nul donnera également une fraction équivalente. C’est ce qu’on appelle réduire ou simplifier la fraction. Une fraction simple dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux (c'est-à-dire que le seul entier positif qui entre de manière égale dans le numérateur et le dénominateur est 1) est dite irréductible, dans les termes les plus bas ou dans les termes les plus simples. Par exemple, \tfrac{3}{9} n'est pas dans les termes les plus bas car 3 et 9 peuvent être exactement divisés par 3. En revanche, \tfrac{3}{8} est dans les termes les plus bas, le seul entier positif qui va dans 3 et 8 uniformément est 1.
En utilisant ces règles, nous pouvons montrer que \tfrac{5}{10} \tfrac{1}{2}
 \tfrac{10}{20} = \tfrac{50}{100}.
Une fraction commune peut être réduite aux termes les plus bas en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun. Par exemple, comme le plus grand diviseur commun de 63 et 462 est 21, la fraction \tfrac{63}{462} peut être réduite aux termes les plus petits en divisant le numérateur et le dénominateur par 21 :
\tfrac{63}{462} \tfrac{63 \div 21}{462 \div 21}
 \tfrac{3}{22}
L'algorithme euclidien donne une méthode pour trouver le plus grand diviseur commun de deux entiers positifs.
Comparer des fractions
Comparer des fractions ayant le même dénominateur nécessite uniquement de comparer les numérateurs.
\tfrac{3}{4}>\tfrac{2}{4} car 3>2.
Si deux fractions positives ont le même numérateur, alors la fraction avec le plus petit dénominateur est le plus grand nombre. Lorsqu’un tout est divisé en morceaux égaux, s’il faut moins de morceaux égaux pour constituer le tout, alors chaque morceau doit être plus grand. Lorsque deux fractions positives ont le même numérateur, elles représentent le même nombre de parties, mais dans la fraction ayant le plus petit dénominateur, les parties sont plus grandes.
Une façon de comparer des fractions avec des numérateurs et des dénominateurs différents consiste à trouver un dénominateur commun. Pour comparer \tfrac{a}{b} et \tfrac{c}{d}, ceux-ci sont convertis en \tfrac{ad}{bd} et \tfrac{bc}{bd}. Alors bd est un dénominateur commun et les numérateurs ad et bc peuvent être comparés.
\tfrac{2}{3} ? \tfrac{1}{2} donne \tfrac{4}{6}>\tfrac{3}{6}
Il n’est pas nécessaire de déterminer la valeur du dénominateur commun pour comparer des fractions. Ce raccourci est connu sous le nom de « multiplication croisée » : vous pouvez simplement comparer ad et bc, sans calculer le dénominateur.
\tfrac{5}{18} ? \tfrac{4}{17}
Multipliez le haut et le bas de chaque fraction par le dénominateur de l’autre fraction pour obtenir un dénominateur commun :
\tfrac{5 \times 17}{18 \times 17} ? \tfrac{4 \times 18}{17 \times 18}
Les dénominateurs sont désormais les mêmes, mais il n’est pas nécessaire de calculer leur valeur : seuls les numérateurs doivent être comparés. Puisque 5×17 ( 85) est supérieur à 4×18 (
72), \tfrac{5}{18}>\tfrac{4}{17}.
Notez également que chaque nombre négatif, y compris les fractions négatives, est inférieur à zéro et que chaque nombre positif, y compris les fractions positives, est supérieur à zéro, donc chaque fraction négative est inférieure à toute fraction positive.
Ajout
La première règle d’addition est que seules des quantités semblables peuvent être ajoutées ; par exemple, diverses quantités de quartiers. Des quantités différentes, telles que l'ajout de tiers à des quarts, doivent d'abord être converties en quantités similaires, comme décrit ci-dessous :
Imaginez une poche contenant deux quarts et une autre poche contenant trois quarts ; au total, il y a cinq quarts. Puisque quatre trimestres équivaut à un (dollar), cela peut être représenté comme suit :
\tfrac24+\tfrac34\tfrac54
1\tfrac14.
Ajout de quantités différentes
Pour ajouter des fractions contenant des quantités différentes (par exemple des quarts et des tiers), il est nécessaire de convertir tous les montants en quantités similaires. Il est facile de déterminer le type de fraction choisi vers lequel convertir ; multipliez simplement ensemble les deux dénominateurs (nombre du bas) de chaque fraction.
Pour ajouter des quarts aux tiers, les deux types de fractions sont convertis en douzièmes, ainsi :
\frac14\ + \frac13\frac{1\times3}{4\times3}\ + \frac{1\times4}{3\times4}
\frac3{12}\ + \frac4{12}=\frac7{12}.
Pensez à ajouter les deux quantités suivantes :
\frac35+\frac23
Tout d’abord, convertissez \tfrac35 en quinzièmes en multipliant le numérateur et le dénominateur par trois : \tfrac35\times\tfrac33=\tfrac9{15}. Puisque \tfrac33 est égal à 1, la multiplication par \tfrac33 ne change pas la valeur de la fraction.
Deuxièmement, convertissez \tfrac23 en quinzièmes en multipliant le numérateur et le dénominateur par cinq : \tfrac23\times\tfrac55=\tfrac{10}{15}.
Maintenant, on peut voir que :
\frac35+\frac23
est équivalent à:
\frac9{15}+\frac{10}{15}\frac{19}{15}
1\frac4{15}
Cette méthode peut s'exprimer algébriquement :
\frac{a}{b} + \frac {c}{d} = \frac{ad+cb}{bd}
Et pour les expressions consistant en l'addition de trois fractions :
\frac{a}{b} + \frac {c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{a(df)+c(bf)+e(bd)}{bdf}
Cette méthode fonctionne toujours, mais il existe parfois un plus petit dénominateur qui peut être utilisé (un plus petit dénominateur commun). Par exemple, pour additionner \tfrac{3}{4} et \tfrac{5}{12} le dénominateur 48 peut être utilisé (le produit de 4 et 12), mais le plus petit dénominateur 12 peut également être utilisé, étant le plus petit commun multiple de 4 et 12.
\frac34+\frac{5}{12}\frac{9}{12}+\frac{5}{12}
\frac{14}{12}\frac76
1\frac16
Soustraction
Le processus de soustraction de fractions est, en substance, le même que celui de leur addition : trouvez un dénominateur commun et changez chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun choisi. La fraction résultante aura ce dénominateur et son numérateur sera le résultat de la soustraction des numérateurs des fractions originales. Par exemple,
\tfrac23-\tfrac12\tfrac46-\tfrac36
\tfrac16
Multiplication
Multiplier une fraction par une autre fraction
Pour multiplier des fractions, multipliez les numérateurs et multipliez les dénominateurs. Ce:
\dfrac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12}
Pour expliquer le processus, considérons un tiers de trimestre. En prenant l'exemple d'un gâteau, si trois petites tranches de taille égale constituent un quart et que quatre quarts constituent un tout, douze de ces petites tranches égales constituent un tout. Par conséquent, un tiers de quart est un douzième. Considérons maintenant les numérateurs. La première fraction, les deux tiers, est deux fois plus grande qu’un tiers. Puisque un tiers de quart équivaut à un douzième, deux tiers de quart équivaut à deux douzième. La deuxième fraction, trois quarts, est trois fois plus grande qu'un quart, donc deux tiers de trois quarts sont trois fois plus grands que deux tiers d'un quart. Ainsi, deux tiers fois trois quarts font six douzièmes.
Un raccourci pour multiplier des fractions est appelé « annulation ». En effet, la réponse est réduite aux termes les plus bas lors de la multiplication. Par exemple:
\tfrac{2}{3} \times \tfrac{3}{4} \tfrac{\cancel{2} ^{~1}}{\cancel{3} ^{~1}} \times \tfrac{\ annuler{3} ^{~1}}{\annuler{4} ^{~2}}
\tfrac{1}{1} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}
Un deux est un facteur commun au numérateur de la fraction de gauche et au dénominateur de la droite et est divisé par les deux. Trois est un facteur commun au dénominateur gauche et au numérateur droit et est divisé par les deux.
Multiplier une fraction par un nombre entier
Puisqu’un nombre entier peut être réécrit comme étant lui-même divisé par 1, les règles normales de multiplication de fractions peuvent toujours s’appliquer.
6 \times \tfrac{3}{4} \tfrac{6}{1} \times \tfrac{3}{4}
 \tfrac{18}{4} Cette méthode fonctionne car la fraction 6/1 signifie six parties égales, dont chacune est un tout.
Multiplier des nombres fractionnaires
Lors de la multiplication de nombres fractionnaires, il est préférable de convertir le nombre fractionnaire en une fraction impropre. Par exemple:
3 \times 2\tfrac{3}{4} 3 \times \left (\tfrac{8}{4} + \tfrac{3}{4} \right )
3 fois \tfrac{11}{4} \tfrac{33}{4}
 8\tfrac{1}{4}
En d'autres termes, 2\tfrac{3}{4} équivaut à \tfrac{8}{4} + \tfrac{3}{4}, ce qui fait 11 quartiers au total (car 2 gâteaux, chacun divisé en quartiers font 8 quarts au total) et 33 quarts font 8\tfrac{1}{4}, puisque 8 gâteaux, chacun composé de quartiers, font 32 quarts au total.
Division
Pour diviser une fraction par un nombre entier, vous pouvez soit diviser le numérateur par le nombre, s'il entre de manière égale dans le numérateur, soit multiplier le dénominateur par le nombre. Par exemple, \tfrac{10}{3} \div 5 est égal à \tfrac{2}{3} et est également égal à \tfrac{10}{3 \cdot 5} \tfrac{10}{15}, ce qui se réduit à \ tfrac{2}{3}. Pour diviser un nombre par une fraction, multipliez ce nombre par l'inverse de cette fraction. Ainsi, \tfrac{1}{2} \div \tfrac{3}{4}
 \tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3} \tfrac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3}
\tfrac{2}{3}.
Conversion entre décimales et fractions
Pour transformer une fraction commune en décimale, divisez le dénominateur par le numérateur. Arrondissez la réponse à la précision souhaitée. Par exemple, pour changer ¼ en nombre décimal, divisez 4 par 1,00 pour obtenir 0,25. Pour changer ⅓ en décimal, divisez 3 par 1,0000... et arrêtez lorsque la précision souhaitée est obtenue. Notez que ¼ peut être écrit exactement avec deux chiffres décimaux, tandis que ⅓ ne peut pas être écrit exactement avec un nombre fini de chiffres décimaux.
Pour changer une décimale en fraction, écrivez au dénominateur un 1 suivi d'autant de zéros qu'il y a de chiffres à droite de la virgule décimale, et écrivez au numérateur tous les chiffres de la décimale d'origine, en omettant la virgule décimale. Ainsi 12,3456 = 123456/10000.
Conversion de décimales répétitives en fractions
Les nombres décimaux, bien que sans doute plus utiles pour effectuer des calculs, manquent parfois de la précision des fractions courantes. Parfois, une décimale à répétition infinie est nécessaire pour atteindre la même précision. Ainsi, il est souvent utile de convertir des nombres décimaux répétitifs en fractions.
La manière préférée d'indiquer une décimale répétitive est de placer une barre sur les chiffres qui se répètent, par exemple 0. = 0,789789789… Pour les motifs répétitifs où le motif répétitif commence immédiatement après la virgule décimale, une simple division du motif par le même nombre des neufs comme nombres suffiront. Par exemple:
0. = 5/9
0. = 62/99
0. = 264/999
0. = 6291/9999
Dans le cas où des zéros non significatifs précèdent le motif, les neuf sont suffixés par le même nombre de zéros finals :
0.0 = 5/90
0.000 = 392/999000
0.00 = 12/9900
Dans le cas où un ensemble non répétitif de décimales précède le modèle (comme 0,1523), nous pouvons l'écrire comme la somme des parties non répétitives et répétitives, respectivement :
0,1523 + 0,0000
Ensuite, convertissez les deux parties en fractions et ajoutez-les en utilisant les méthodes décrites ci-dessus :
1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000
Alternativement, l'algèbre peut être utilisée, comme ci-dessous :
# Soit x = la décimale répétitive :
#:x = 0,1523
#Multipliez les deux côtés par la puissance 10 juste assez grande (dans ce cas 104) pour déplacer la virgule juste avant la partie répétitive du nombre décimal :
# : 10 000x = 1 523.
#Multipliez les deux côtés par la puissance de 10 (dans ce cas 103) qui est la même que le nombre de places qui se répètent :
# : 10 000 000x = 1 523 987.
#Soustrayez les deux équations l'une de l'autre (si a b et c
d, alors a − c = b − d) :
# : 10 000 000x − 10 000x = 1 523 987. − 1 523.
#Continuez l'opération de soustraction pour effacer la décimale répétitive :
# : 9 990 000x = 1 523 987 − 1 523
# : 9 990 000x = 1 522 464
#Divisez les deux côtés pour représenter x sous forme de fraction
#:x = 1522464/9990000
Fractions en mathématiques abstraites
En plus d’être d’une grande importance pratique, les fractions sont également étudiées par les mathématiciens, qui vérifient que les règles relatives aux fractions données ci-dessus sont cohérentes et fiables. Les mathématiciens définissent une fraction comme une paire ordonnée (a, b) d'entiers a et b ≠ 0, pour laquelle les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division sont définies comme suit :
(a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd) \,
(a,b) - (c,d) = (ad-bc,bd) \,
(a,b) \cdot (c,d) = (ac,bd)
(a,b) \div (c,d) = (ad,bc) \text{ (quand c ≠ 0)}
De plus, une relation d'équivalence est spécifiée comme suit : (a, b) \sim (c, d) si et seulement si ad=bc.
Ces définitions concordent dans tous les cas avec les définitions données ci-dessus ; seule la notation est différente.
Plus généralement, a et b peuvent être des éléments de n'importe quel domaine intégral R, auquel cas une fraction est un élément du corps des fractions de R. Par exemple, lorsque a et b sont des polynômes dans une indéterminée, le corps des fractions est le domaine des fractions rationnelles (également connu sous le nom de domaine des fonctions rationnelles). Lorsque a et b sont des nombres entiers, le corps des fractions est le corps des nombres rationnels.
Fractions algébriques
Une fraction algébrique est le quotient indiqué de deux expressions algébriques. Deux exemples de fractions algébriques sont \frac{3x}{x^2+2x-3} et \frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}. Les fractions algébriques sont soumises aux mêmes lois que les fractions arithmétiques.
Si le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, comme dans \frac{3x}{x^2+2x-3}, la fraction algébrique est appelée fraction rationnelle (ou expression rationnelle). Une fraction irrationnelle est une fraction qui contient la variable sous un exposant fractionnaire ou une racine, comme dans \frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}.
La terminologie utilisée pour décrire les fractions algébriques est similaire à celle utilisée pour les fractions ordinaires. Par exemple, une fraction algébrique est en termes les plus bas si les seuls facteurs communs au numérateur et au dénominateur sont 1 et −1. Une fraction algébrique dont le numérateur ou le dénominateur, ou les deux, contiennent une fraction, telle que \frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}, est appelée une fraction complexe.
Les nombres rationnels sont le corps quotient des nombres entiers. Les expressions rationnelles sont le champ quotient des polynômes (sur un domaine intégral). Puisqu'un coefficient est un polynôme de degré zéro, une expression radicale telle que √2/2 est une fraction rationnelle. Un autre exemple (sur les réels) est \textstyle{\tfrac{\pi}{2}}, la mesure en radians d'un angle droit.
Le terme fraction partielle est utilisé lors de la décomposition d’expressions rationnelles en sommes. Le but est d’écrire l’expression rationnelle comme la somme d’autres expressions rationnelles avec des dénominateurs de moindre degré. Par exemple, l'expression rationnelle \textstyle{2x \over x^2-1} peut être réécrite comme la somme de deux fractions : \textstyle{1 \over x+1} + \textstyle{1 \over x-1}. Ceci est utile dans de nombreux domaines tels que le calcul intégral et les équations différentielles.
Expressions radicales
Une fraction peut également contenir des radicaux au numérateur et/ou au dénominateur. Si le dénominateur contient des radicaux, il peut être utile de le rationaliser (voir Forme simplifiée d'une expression radicale), surtout si d'autres opérations, telles que l'addition ou la comparaison de cette fraction à une autre, doivent être effectuées. C'est également plus pratique si la division doit être effectuée manuellement. Lorsque le dénominateur est une racine carrée monôme, il peut être rationalisé en multipliant le haut et le bas de la fraction par le dénominateur :
\frac{3}{\sqrt{7}} \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}
 \frac{3\sqrt{7}}{7}
Le processus de rationalisation des dénominateurs binomiaux consiste à multiplier le haut et le bas d'une fraction par le conjugué du dénominateur afin que le dénominateur devienne un nombre rationnel. Par exemple:
\frac{3}{3-2\sqrt{5}} \frac{3}{3-2\sqrt{5}} \cdot \frac{3+2\sqrt{5}}{3+2\sqrt {5}}
 \frac{3(3+2\sqrt{5})} \frac{3}{3+2\sqrt{5}} \cdot \frac{3-2\sqrt{5}}{3-2\sqrt {5}}
 \frac{3(3-2\sqrt{5})}