Qui a présenté une liste de 23 problèmes de mathématiques lors d'une conférence du Congrès international des mathématiciens le 8 août 1900 à la Sorbonne, dont 10 seulement ont des résolutions pleinement acceptées ?
David Hilbert
Les problèmes de Hilbert sont une liste de vingt-trois problèmes de mathématiques publiée par le mathématicien allemand David Hilbert en 1900. Les problèmes n'étaient tous pas résolus à l'époque et plusieurs d'entre eux ont eu une grande influence sur les mathématiques du XXe siècle. Hilbert a présenté dix des problèmes (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 et 22) lors de la conférence de Paris du Congrès international des mathématiciens, s'exprimant le 8 août à la Sorbonne. La liste complète des 23 problèmes a été publiée plus tard, notamment en traduction anglaise en 1902 par Mary Frances Winston Newson dans le Bulletin de l'American Mathematical Society.
Les problèmes de Hilbert sont une liste de vingt-trois problèmes de mathématiques publiée par le mathématicien allemand David Hilbert en 1900. Les problèmes n'étaient tous pas résolus à l'époque et plusieurs d'entre eux ont eu une grande influence sur les mathématiques du XXe siècle. Hilbert a présenté dix des problèmes (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 et 22) lors de la conférence de Paris du Congrès international des mathématiciens, s'exprimant le 8 août à la Sorbonne. La liste complète des 23 problèmes a été publiée plus tard, notamment en traduction anglaise en 1902 par Mary Frances Winston Newson dans le Bulletin de l'American Mathematical Society.

Nature et influence des problèmes

Les problèmes de Hilbert variaient considérablement en termes de sujet et de précision. Certains d'entre eux sont posés avec suffisamment de précision pour permettre une réponse claire, affirmative ou négative, comme le 3ème problème, qui fut le premier à être résolu, ou le 8ème problème (l'hypothèse de Riemann). Pour d'autres problèmes, comme le 5ème, les experts se sont traditionnellement mis d'accord sur une interprétation unique, et une solution à l'interprétation acceptée a été donnée, mais des problèmes non résolus étroitement liés existent. Parfois, les déclarations de Hilbert n'étaient pas assez précises pour préciser un problème particulier, mais étaient suffisamment suggestives pour que certains problèmes d'origine plus contemporaine semblent s'appliquer, par ex. la plupart des théoriciens des nombres modernes verraient probablement le 9ème problème comme faisant référence à la correspondance conjecturale de Langlands sur les représentations du groupe de Galois absolu d'un corps numérique. D'autres problèmes encore, comme le 11e et le 16e, concernent des sous-disciplines mathématiques aujourd'hui florissantes, comme les théories des formes quadratiques et des courbes algébriques réelles.

Il existe deux problèmes non seulement non résolus, mais qui pourraient même l’être selon les normes modernes. Le sixième problème concerne l'axiomatisation de la physique, un objectif que les développements de la physique au XXe siècle (y compris sa reconnaissance en tant que discipline indépendante des mathématiques) semblent rendre à la fois plus éloigné et moins important qu'à l'époque de Hilbert. Aussi, le 4ème problème concerne les fondements de la géométrie, d'une manière désormais généralement jugée trop vague pour permettre une réponse définitive.

Les vingt et un autres problèmes ont tous fait l’objet d’une attention particulière et, à la fin du XXe siècle, les travaux sur ces problèmes étaient encore considérés comme de la plus haute importance. Paul Cohen a reçu la médaille Fields en 1966 pour son travail sur le premier problème, et la solution négative du dixième problème en 1970 par Yuri Matiyasevich (complétant les travaux de Martin Davis, Hilary Putnam et Julia Robinson) a suscité un éloge similaire. Certains aspects de ces problèmes revêtent encore aujourd’hui un grand intérêt.

Ignorabimus

À la suite de Gottlob Frege et Bertrand Russell, Hilbert a cherché à définir logiquement les mathématiques en utilisant la méthode des systèmes formels, c'est-à-dire des preuves finitistes à partir d'un ensemble d'axiomes convenus. L'un des principaux objectifs du programme de Hilbert était une preuve finitiste de la cohérence des axiomes de l'arithmétique : c'est son deuxième problème.

Cependant, le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel donne un sens précis dans lequel une telle preuve finitiste de la cohérence de l'arithmétique est manifestement impossible. Hilbert a vécu 12 ans après que Kurt Gödel a publié son théorème, mais ne semble pas avoir écrit de réponse formelle aux travaux de Gödel.

Le dixième problème de Hilbert ne demande pas s'il existe un algorithme pour décider de la solvabilité des équations diophantiennes, mais demande plutôt la construction d'un tel algorithme : « concevoir un processus selon lequel il peut être déterminé dans un nombre fini d'opérations si la l'équation peut être résolue en nombres entiers rationnels. Le fait que ce problème ait été résolu en montrant qu'un tel algorithme ne peut pas exister contredit la philosophie des mathématiques de Hilbert.

En discutant de son opinion selon laquelle tout problème mathématique devrait avoir une solution, Hilbert admet la possibilité que la solution puisse être une preuve que le problème initial est impossible. Il a déclaré que le but est de savoir d'une manière ou d'une autre quelle est la solution, et il pensait que nous pouvons toujours le savoir, qu'en mathématiques il n'y a pas d'"ignorabimus" (affirmation dont la vérité ne peut jamais être connue). Il semble difficile de savoir s’il aurait considéré la solution du dixième problème comme un exemple d’ignorabimus : ce qui est prouvé comme inexistant n’est pas la solution entière, mais (dans un certain sens) la capacité de discerner d’une manière spécifique si une solution existe.

En revanche, le statut des premier et deuxième problèmes est encore plus compliqué : il n'existe pas de consensus mathématique clair quant à savoir si les résultats de Gödel (dans le cas du deuxième problème) ou de Gödel et Cohen (dans le cas du premier problème) donnent ou non des solutions négatives définitives, puisque ces solutions s'appliquent à une certaine formalisation des problèmes, qui n'est pas nécessairement la seule possible.

Le 24ème problème

Hilbert avait initialement inclus 24 problèmes sur sa liste, mais a décidé de ne pas en inclure un dans la liste publiée. Le « 24ème problème » (en théorie de la preuve, sur un critère de simplicité et de méthodes générales) a été redécouvert dans les notes manuscrites originales de Hilbert par l'historien allemand en 2000.

Séquelles

Depuis 1900, les mathématiciens et les organisations mathématiques ont annoncé des listes de problèmes, mais, à quelques exceptions près, ces collections n'ont pas eu autant d'influence ni généré autant de travail que les problèmes de Hilbert.

Une des exceptions est fournie par trois conjectures faites par André Weil à la fin des années 1940 (les conjectures de Weil). Dans les domaines de la géométrie algébrique, de la théorie des nombres et des liens entre les deux, les conjectures de Weil étaient très importantes. La première des conjectures de Weil a été prouvée par Bernard Dwork, et une preuve complètement différente des deux premières conjectures via la cohomologie l-adique a été donnée par Alexander Grothendieck. La dernière et la plus profonde des conjectures de Weil (un analogue de l'hypothèse de Riemann) a été prouvée par Pierre Deligne. Grothendieck et Deligne ont reçu la médaille Fields. Cependant, les conjectures de Weil, dans leur portée, ressemblent davantage à un seul problème de Hilbert, et Weil ne les a jamais conçues comme un programme pour toutes les mathématiques. C’est quelque peu ironique, puisque Weil était sans doute le mathématicien des années 1940 et 1950 qui a le mieux joué le rôle de Hilbert, connaissant presque tous les domaines des mathématiques (théoriques) et ayant joué un rôle important dans le développement de bon nombre d’entre eux.

Paul Erdős a posé des centaines, voire des milliers de problèmes mathématiques, dont beaucoup sont profonds. Les Erdős offraient souvent des récompenses monétaires ; le montant de la récompense dépendait de la difficulté perçue du problème.

La fin du millénaire, qui marque également le centenaire de l'annonce par Hilbert de ses problèmes, était une occasion naturelle de proposer « une nouvelle série de problèmes hilbertiens ». Plusieurs mathématiciens ont relevé le défi, notamment le médaillé Fields Steve Smale, qui a répondu à une demande de Vladimir Arnold en proposant une liste de 18 problèmes.
Les problèmes de Smale n'ont jusqu'à présent pas reçu beaucoup d'attention de la part des médias, et on ne sait pas exactement à quel point ils reçoivent une attention sérieuse de la part de la communauté mathématique.

Au moins dans les médias grand public, l'analogue de facto des problèmes de Hilbert au 21ème siècle est la liste des sept problèmes du Prix du Millénaire choisis en 2000 par le Clay Mathematics Institute. Contrairement aux problèmes de Hilbert, où la récompense principale était l'admiration de Hilbert en particulier et des mathématiciens en général, chaque problème comprend une prime d'un million de dollars. Comme pour les problèmes de Hilbert, l'un des problèmes majeurs (la conjecture de Poincaré) a été résolu relativement peu de temps après l'annonce des problèmes.

L'hypothèse de Riemann est remarquable pour son apparition sur la liste des problèmes de Hilbert, sur la liste de Smale et sur la liste des problèmes du Prix du Millénaire — et même, sous sa forme géométrique, dans les conjectures de Weil —. Malgré quelques récentes attaques célèbres de la part de grands mathématiciens de notre époque, de nombreux experts estiment que l’hypothèse de Riemann sera incluse dans les listes de problèmes pendant encore des siècles. Hilbert lui-même a déclaré : « Si je devais me réveiller après avoir dormi mille ans, ma première question serait : l'hypothèse de Riemann est-elle prouvée ?

En 2008, la DARPA a annoncé sa propre liste de 23 problèmes qui, espérait-elle, pourraient entraîner des avancées mathématiques majeures, « renforçant ainsi les capacités scientifiques et technologiques du DoD ».

Résumé

Parmi les problèmes de Hilbert clairement formulés, les problèmes 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 et 21 ont une résolution acceptée par consensus. D'un autre côté, les problèmes 1, 2, 5, 9, 15, 18+ et 22 ont des solutions qui sont partiellement acceptées, mais il existe une certaine controverse quant à savoir si elles résolvent les problèmes.

Le + sur 18 dénote que la solution de la conjecture de Kepler est une preuve assistée par ordinateur, notion anachronique pour un problème de Hilbert et dans une certaine mesure controversée en raison de son manque de vérifiabilité par un lecteur humain dans un délai raisonnable.

Cela laisse 16, 8 (l’hypothèse de Riemann) et 12 non résolus. Sur cette classification, les points 4, 16 et 23 sont trop vagues pour être jamais décrits comme résolus. Les 24 retraités seraient également dans cette classe. 6 est considéré comme un problème en physique plutôt qu’en mathématiques.

Tableau des problèmes

Les vingt-trois problèmes de Hilbert sont (pour plus de détails sur les solutions et les références, voir les articles détaillés auxquels sont liés dans la première colonne) :

Remarques