Comment appelle-t-on le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre ?
solides platoniciens
Un tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. C'est l'un des cinq solides platoniciens réguliers connus depuis l'Antiquité. Un tétraèdre est un 3-simplex. Contrairement au cas des autres solides platoniciens, tous les sommets d'un tétraèdre régulier sont équidistants les uns des autres (ils constituent le seul arrangement possible de quatre points équidistants dans un espace tridimensionnel).
En géométrie, un tétraèdre (pluriel : tétraèdres ou tétraèdres) est un polyèdre composé de quatre faces triangulaires, de six arêtes droites et de quatre coins sommets. Le tétraèdre est le plus simple de tous les polyèdres convexes ordinaires et le seul à avoir moins de 5 faces.
Le tétraèdre est le cas tridimensionnel du concept plus général de simplexe euclidien.
Le tétraèdre est un type de pyramide, qui est un polyèdre avec une base polygonale plate et des faces triangulaires reliant la base à un point commun. Dans le cas d'un tétraèdre, la base est un triangle (n'importe laquelle des quatre faces peut être considérée comme la base), donc un tétraèdre est également connu sous le nom de « pyramide triangulaire ».
Comme tous les polyèdres convexes, un tétraèdre peut être plié à partir d’une seule feuille de papier. Il dispose de deux de ces filets.
Pour tout tétraèdre, il existe une sphère (appelée circumsphère) sur laquelle se trouvent les quatre sommets, et une autre sphère (l'insphère) tangente aux faces du tétraèdre.
Tétraèdre régulier
Un tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. C'est l'un des cinq solides platoniciens réguliers connus depuis l'Antiquité.
Dans un tétraèdre régulier, non seulement toutes ses faces ont la même taille et la même forme (congrues), mais aussi tous ses sommets et arêtes.
Les tétraèdres réguliers seuls ne remplissent pas l'espace, mais s'ils sont alternés avec des octaèdres réguliers, ils forment le nid d'abeilles cubique alterné, qui est un pavage.
Le tétraèdre régulier est auto-dual, ce qui signifie que son dual est un autre tétraèdre régulier. La figure composée comprenant deux de ces tétraèdres doubles forme un octaèdre étoilé ou stella octangula.
Formules pour un tétraèdre régulier
Les coordonnées cartésiennes suivantes définissent les quatre sommets d'un tétraèdre de longueur d'arête 2, centré à l'origine :
(\pm 1, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})
(0, \pm 1, \frac{1}{\sqrt{2}})
Un autre ensemble de coordonnées est basé sur un cube ou un demicube alterné avec une longueur d'arête de 2. Cette forme a un diagramme de Coxeter et un symbole de Schläfli h{4,3}. Le tétraèdre dans ce cas a une longueur d'arête de 2. L'inversion de ces coordonnées génère le double tétraèdre, et la paire forme ensemble l'octaèdre étoilé, dont les sommets sont ceux du cube d'origine.
Tétraèdre : (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)
Tétraèdre double : (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)
Pour un tétraèdre régulier de longueur d'arête a :
Par rapport au plan de base, la pente d'une face (2) est le double de celle d'une arête (), correspondant au fait que la distance horizontale parcourue de la base au sommet le long d'une arête est le double de celle le long de la médiane d'une face. . En d’autres termes, si C est le centroïde de la base, la distance de C à un sommet de la base est le double de celle de C au milieu d’une arête de la base. Cela découle du fait que les médianes d'un triangle se coupent en son centre de gravité, et ce point divise chacune d'elles en deux segments dont l'un est deux fois plus long que l'autre (voir preuve).
Pour un tétraèdre régulier de longueur de côté a, de rayon R de sa sphère circonscrite et de distances d_i d'un point arbitraire dans l'espace 3 à ses quatre sommets, nous avons
\frac{\sum_{i1}^4d_i^4}{4} + \frac{16R^4}{9}
\left(\frac{\sum_{i=1}^4d_i^2}{4} + \frac{2R^2}{3}\right)^2;
4(a^4 + \sum_{i1}^4 d_i^4)
 (a^2 + \sum_{i=1}^4 d_i^2)^2.
Isométries du tétraèdre régulier
Les sommets d'un cube peuvent être regroupés en deux groupes de quatre, chacun formant un tétraèdre régulier (voir ci-dessus, ainsi que l'animation montrant l'un des deux tétraèdres du cube). Les symétries d'un tétraèdre régulier correspondent à la moitié de celles d'un cube : celles qui mappent les tétraèdres entre eux, et non entre eux.
Le tétraèdre est le seul solide platonicien qui n'est pas mappé sur lui-même par inversion de points.
Le tétraèdre régulier a 24 isométries, formant le groupe de symétrie Td, [3,3], (*332), isomorphe au groupe symétrique S4. Ils peuvent être classés comme suit :
* T, [3,3]+, (332) est isomorphe au groupe alterné, A4 (l'identité et les 11 rotations propres) avec les classes de conjugaison suivantes (entre parenthèses sont données les permutations des sommets, ou en conséquence, les faces, et la représentation unitaire en quaternion) :
** identité (identité; 1)
** rotation autour d'un axe passant par un sommet, perpendiculaire au plan opposé, d'un angle de ±120° : 4 axes, 2 par axe, ensemble, etc. ;
** rotation d'un angle de 180° telle qu'un bord corresponde au bord opposé : , etc.; )
* réflexions dans un plan perpendiculaire à une arête : 6
* réflexions dans un plan combinées à une rotation de 90° autour d'un axe perpendiculaire au plan : 3 axes, 2 par axe, ensemble 6 ; de manière équivalente, ce sont des rotations de 90° combinées à une inversion (x est mappé sur −x) : les rotations correspondent à celles du cube autour des axes face à face
Projections orthogonales du tétraèdre régulier
Le tétraèdre régulier possède deux projections orthogonales spéciales, une centrée sur un sommet ou de manière équivalente sur une face, et une centrée sur une arête. Le premier correspond à l’avion A2 Coxeter.
Coupe transversale du tétraèdre régulier
Les deux bords opposés perpendiculaires inclinés d’un tétraèdre régulier définissent un ensemble de plans parallèles. Lorsque l’un de ces plans coupe le tétraèdre, la section transversale résultante est un rectangle. Lorsque le plan d'intersection est proche de l'un des bords, le rectangle est long et mince. A mi-chemin entre les deux bords, l’intersection est un carré. Le rapport hauteur/largeur du rectangle s’inverse lorsque vous dépassez ce point à mi-chemin. Pour l’intersection médiane du carré, la ligne de démarcation résultante traverse chaque face du tétraèdre de la même manière. Si le tétraèdre est divisé en deux sur ce plan, les deux moitiés deviennent des coins.
Cette propriété s'applique également aux disphénoïdes tétragonaux lorsqu'elle est appliquée aux deux paires d'arêtes spéciales.
Carrelage sphérique
Le tétraèdre peut également être représenté comme un pavage sphérique, et projeté sur le plan via une projection stéréographique. Cette projection est conforme, préservant les angles mais pas les zones ou les longueurs. Les lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur le plan.
Autres cas particuliers
Un tétraèdre isocèle, également appelé disphénoïde, est un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles congruents. Un tétraèdre remplissant l'espace contient des copies congruentes de lui-même pour carreler l'espace, comme le nid d'abeilles tétraédrique disphénoïde.
Dans un tétraèdre trirectangulaire, les trois angles des faces à un sommet sont des angles droits. Si les trois paires d’arêtes opposées d’un tétraèdre sont perpendiculaires, on parle alors de tétraèdre orthocentrique. Lorsqu’une seule paire d’arêtes opposées est perpendiculaire, on parle de tétraèdre semi-orthocentrique. Un tétraèdre isodynamique est un tétraèdre dans lequel les cevians qui joignent les sommets aux incentres des faces opposées sont concourants, et un tétraèdre isogonique a des cevians concurrents qui joignent les sommets aux points de contact des faces opposées avec la sphère inscrite du tétraèdre. .
Isométries des tétraèdres irréguliers
Les isométries d'un tétraèdre irrégulier (non marqué) dépendent de la géométrie du tétraèdre, avec 7 cas possibles. Dans chaque cas, un groupe de points tridimensionnel est formé. Deux autres isométries (C3, [3]+) et (S4, [2+,4+]) peuvent exister si le marquage de face ou de bord est inclus. Des diagrammes tétraédriques sont inclus pour chaque type ci-dessous, avec des bords colorés par équivalence isométrique et sont de couleur grise pour des bords uniques.
Les propriétés générales
Volume
Le volume d'un tétraèdre est donné par la formule du volume de la pyramide :
V = \frac{1}{3} A_0\,h \,
où A0 est l’aire de la base et h est la hauteur de la base au sommet. Ceci s'applique pour chacun des quatre choix de la base, donc les distances des sommets aux faces opposées sont inversement proportionnelles aux surfaces de ces faces.
Pour un tétraèdre avec des sommets
,
,
, et
, le volume est , ou toute autre combinaison de paires de sommets qui forment un graphe simplement connecté. Cela peut être réécrit en utilisant un produit scalaire et un produit croisé, ce qui donne
V = \frac { |(\mathbf{a}-\mathbf{d}) \cdot ((\mathbf{b}-\mathbf{d}) \times (\mathbf{c}-\mathbf{d}) )| } {6}.
Si l'origine du système de coordonnées est choisie pour coïncider avec le sommet d, alors d = 0, donc
V = \frac { |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| } {6},
où a, b et c représentent trois arêtes qui se rencontrent en un sommet et constituent un triple produit scalaire. En comparant cette formule avec celle utilisée pour calculer le volume d’un parallélépipède, nous concluons que le volume d’un tétraèdre est égal au volume de tout parallélépipède partageant avec lui trois arêtes convergentes.
La valeur absolue du triple produit scalaire peut être représentée comme les valeurs absolues des déterminants suivantes :
6 \cdot V =\begin{Vmatrix}
\mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c}
\end{Vmatrix}ou6 \cdot V =\begin{Vmatrix}
\mathbf{a} \\ \mathbf{b} \\ \mathbf{c}
\end{Vmatrix}où\mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3)\,est exprimé sous forme de vecteur de ligne ou de colonne, etc.
Ainsi
36 \cdot V^2 =\begin{vmatrix}
\mathbf{a^2} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{b^2} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{c^2}
\end{vmatrix}où\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab\cos{\gamma}etc.
qui donne
V = \frac {abc} {6} \sqrt{1 + 2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}-\cos^2{\alpha}-\cos^2{\ bêta}-\cos^2{\gamma}}, \,
où α, β, γ sont les angles plans se produisant au sommet d. L'angle α, est l'angle entre les deux arêtes reliant le sommet d aux sommets b et c. L'angle β le fait pour les sommets a et c, tandis que γ est défini par la position des sommets a et b.
Étant donné les distances entre les sommets d'un tétraèdre, le volume peut être calculé à l'aide du déterminant de Cayley-Menger :
288 \cdot V^2 =
\begin{vmatrix}
0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\
  1 & 0        & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\
  1 & d_{12}^2 & 0        & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\
1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0        & d_{34}^2 \\
  1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0
\end{vmatrix}
où les indices i, j ∈ {1, 2, 3, 4} représentent les sommets {a, b, c, d} et d est la distance par paire entre eux – c'est-à-dire la longueur de l'arête reliant les deux sommets. Une valeur négative du déterminant signifie qu’un tétraèdre ne peut pas être construit avec les distances données. Cette formule, parfois appelée formule de Tartaglia, est essentiellement due au peintre Piero della Francesca du XVe siècle, comme analogue tridimensionnel de la formule d'Héron du Ier siècle pour l'aire d'un triangle.
Formule de type héron pour le volume d'un tétraèdre
Si U, V, W, u, v, w sont des longueurs d'arêtes du tétraèdre (les trois premiers forment un triangle ; u opposé à U et ainsi de suite), alors
\text{volume} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}
où
\begin{aligner}
une & \sqrt {xYZ} \\ b &
 \sqrt {yZX} \\ c & \sqrt {zXY} \\ d &
 \sqrt {xyz} \\ X & (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x &
(U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y &
 (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z &
 (W - u + v)\,(u - v + W).
\fin{aligner}
Diviseur de volume
Un plan qui divise deux bords opposés d'un tétraèdre dans un rapport donné divise également le volume du tétraèdre dans le même rapport. Ainsi, tout plan contenant une bimédiane (connecteur des milieux des bords opposés) d'un tétraèdre coupe en deux le volume du tétraèdre.
Volume non euclidien
Pour les tétraèdres dans l'espace hyperbolique ou en géométrie sphérique tridimensionnelle, les angles dièdres du tétraèdre déterminent sa forme et donc son volume. Dans ces cas, le volume est donné par la formule Murakami – Yano. Cependant, dans l'espace euclidien, la mise à l'échelle d'un tétraèdre modifie son volume mais pas ses angles dièdres, donc une telle formule ne peut exister.
Distance entre les bords
Deux arêtes opposées d'un tétraèdre se trouvent sur deux lignes obliques, et la distance entre les arêtes est définie comme la distance entre les deux lignes obliques. Soit d la distance entre les lignes obliques formées par les arêtes opposées a et telle que calculée ici. Alors une autre formule de volume est donnée par
V = \frac {d |(\mathbf{a} \times \mathbf{(bc)})| } {6}.
Propriétés analogues à celles d'un triangle
Le tétraèdre possède de nombreuses propriétés analogues à celles d'un triangle, notamment une insphère, une circumsphère, un tétraèdre médial et des exsphères. Il a des centres respectifs tels que l'incenter, le circumcenter, les excenters, le centre de Spieker et des points tels qu'un centroïde. Cependant, il n’y a généralement pas d’orthocentre au sens d’intersection d’altitudes.
Gaspard Monge a découvert un centre qui existe dans chaque tétraèdre, maintenant connu sous le nom de point Monge : le point d'intersection des six plans médians d'un tétraèdre. Un plan médian est défini comme un plan orthogonal à une arête joignant deux sommets quelconques et contenant également le centroïde d'une arête opposée formée en joignant les deux autres sommets. Si les altitudes du tétraèdre se croisent, alors le point Monge et l'orthocentre coïncident pour donner la classe du tétraèdre orthocentrique.
Une ligne orthogonale descendue du point Monge vers n'importe quelle face rencontre cette face au milieu du segment de ligne entre l'orthocentre de cette face et le pied de l'altitude descendue du sommet opposé.
Un segment de droite joignant un sommet d'un tétraèdre au centroïde de la face opposée est appelé médiane et un segment de droite joignant les milieux de deux arêtes opposées est appelé bimédiane du tétraèdre. Il y a donc quatre médianes et trois bimédianes dans un tétraèdre. Ces sept segments de droite sont tous concourants en un point appelé centroïde du tétraèdre. Le centre de gravité d'un tétraèdre est le point médian entre son point Monge et son centre circonscrit. Ces points définissent la ligne d'Euler du tétraèdre qui est analogue à la ligne d'Euler d'un triangle.
Le cercle à neuf pointes du triangle général a un analogue dans la sphère circonscrite du tétraèdre médial d'un tétraèdre. C'est la sphère à douze points et outre les centroïdes des quatre faces du tétraèdre de référence, elle passe par quatre points d'Euler de substitution, à un tiers du chemin du point de Monge vers chacun des quatre sommets. Enfin, il passe par les quatre points de base des lignes orthogonales tracées depuis chaque point d'Euler jusqu'à la face ne contenant pas le sommet qui a généré le point d'Euler.
Le centre T de la sphère à douze points se trouve également sur la droite d'Euler. Contrairement à son homologue triangulaire, ce centre se situe à un tiers du chemin depuis le point Monge M vers le centre circonscrit. De plus, une ligne orthogonale passant par T à une face choisie est coplanaire avec deux autres lignes orthogonales à la même face. La première est une droite orthogonale passant par le point d'Euler correspondant à la face choisie. La seconde est une ligne orthogonale passant par le centre de gravité de la face choisie. Cette ligne orthogonale passant par le centre des douze points se situe à mi-chemin entre la ligne orthogonale du point d'Euler et la ligne orthogonale du centre de gravité. De plus, pour n'importe quelle face, le centre des douze points se situe au milieu du point d'Euler correspondant et à l'orthocentre de cette face.
Le rayon de la sphère à douze pointes est égal au tiers du rayon circonscrit du tétraèdre de référence.
Il existe une relation entre les angles formés par les faces d'un tétraèdre général donnée par
\begin{vmatrix} -1 & \cos{(\alpha_{12})} & \cos{(\alpha_{13})} & \cos{(\alpha_{14})}\\
\cos{(\alpha_{12})} & -1 & \cos{(\alpha_{23})} & \cos{(\alpha_{24})} \\
\cos{(\alpha_{13})} & \cos{(\alpha_{23})} & -1 & \cos{(\alpha_{34})} \\
\cos{(\alpha_{14})} & \cos{(\alpha_{24})} & \cos{(\alpha_{34})} & -1 \\ \end{vmatrix} = 0\,
où α est l'angle entre les faces i et j.
Relations géométriques
Un tétraèdre est un 3-simplex. Contrairement au cas des autres solides platoniciens, tous les sommets d'un tétraèdre régulier sont équidistants les uns des autres (ils constituent le seul arrangement possible de quatre points équidistants dans un espace tridimensionnel).
Un tétraèdre est une pyramide triangulaire et le tétraèdre régulier est auto-duel.
Un tétraèdre régulier peut être intégré à l'intérieur d'un cube de deux manières, de sorte que chaque sommet soit un sommet du cube et que chaque arête soit une diagonale de l'une des faces du cube. Pour un tel plongement, les coordonnées cartésiennes des sommets sont
(+1, +1, +1) ;
(−1, −1, +1);
(−1, +1, −1);
(+1, −1, −1).
Cela donne un tétraèdre de longueur d'arête 2, centré à l'origine. Pour l’autre tétraèdre (qui est dual du premier), inversez tous les signes. Les sommets de ces deux tétraèdres combinés sont les sommets d'un cube, démontrant que le tétraèdre régulier est le 3-démicube.
Le volume de ce tétraèdre est le tiers du volume du cube. La combinaison des deux tétraèdres donne un composé polyédrique régulier appelé composé de deux tétraèdres ou stella octangula.
L'intérieur de la stella octangula est un octaèdre et, par conséquent, un octaèdre régulier est le résultat de la coupure, d'un tétraèdre régulier, de quatre tétraèdres réguliers de la moitié de la taille linéaire (c'est-à-dire la rectification du tétraèdre).
L'intégration ci-dessus divise le cube en cinq tétraèdres, dont l'un est régulier. En fait, cinq est le nombre minimum de tétraèdres requis pour composer un cube.
L'inscription de tétraèdres à l'intérieur du composé régulier de cinq cubes donne deux composés plus réguliers, contenant cinq et dix tétraèdres.
Les tétraèdres réguliers ne peuvent pas mosaïquer l'espace par eux-mêmes, bien que ce résultat semble suffisamment probable pour qu'Aristote prétende que c'est possible. Cependant, deux tétraèdres réguliers peuvent être combinés avec un octaèdre, donnant un rhomboèdre capable de carreler l'espace.
Cependant, plusieurs tétraèdres irréguliers sont connus, dont des copies peuvent carreler l'espace, par exemple le nid d'abeilles tétraédrique disphénoïde. La liste complète reste un problème ouvert.
Si l'on assouplit l'exigence selon laquelle les tétraèdres doivent tous avoir la même forme, on peut carreler l'espace en utilisant uniquement des tétraèdres de différentes manières. Par exemple, on peut diviser un octaèdre en quatre tétraèdres identiques et les combiner à nouveau avec deux tétraèdres réguliers. (En remarque : ces deux types de tétraèdre ont le même volume.)
Le tétraèdre est unique parmi les polyèdres uniformes en ce sens qu'il ne possède pas de faces parallèles.
Une loi des sinus pour les tétraèdres et l'espace de toutes les formes de tétraèdres
Un corollaire de la loi habituelle des sinus est que dans un tétraèdre de sommets O, A, B, C, on a
\sin\angle OAB\cdot\sin\angle OBC\cdot\sin\angle OCA = \sin\angle OAC\cdot\sin\angle OCB\cdot\sin\angle OBA.\,
On peut considérer les deux côtés de cette identité comme correspondant aux orientations de la surface dans le sens horaire et antihoraire.
Mettre l'un des quatre sommets dans le rôle de O donne quatre de ces identités, mais au plus trois d'entre elles sont indépendantes : si les côtés "dans le sens des aiguilles d'une montre" de trois d'entre eux sont multipliés et que le produit est déduit égal au produit du les côtés « dans le sens inverse des aiguilles d'une montre » des trois mêmes identités, puis les facteurs communs sont annulés des deux côtés, le résultat est la quatrième identité.
Trois angles sont les angles d'un triangle si et seulement si leur somme est de 180° (π radians). Quelle condition sur 12 angles est nécessaire et suffisante pour qu’ils soient les 12 angles d’un tétraèdre ? Il est clair que la somme des angles de n’importe quel côté du tétraèdre doit être de 180°. Puisqu'il existe quatre de ces triangles, il existe quatre contraintes de ce type sur les sommes d'angles, et le nombre de degrés de liberté est ainsi réduit de 12 à 8. Les quatre relations données par cette loi sinusoïdale réduisent encore le nombre de degrés de liberté, de 8 jusqu'à non pas 4 mais 5, puisque la quatrième contrainte n'est pas indépendante des trois premières. Ainsi l’espace de toutes les formes de tétraèdres est à 5 dimensions.
Loi des cosinus pour les tétraèdres
Soit \{P_1,P_2,P_3,P_4\} les points d'un tétraèdre. Soit \Delta_i l'aire de la face opposée au sommet P_i et soit \theta_{ij} l'angle dièdre entre les deux faces du tétraèdre adjacentes à l'arête P_{i}P_j.
La loi des cosinus de ce tétraèdre, qui relie les aires des faces du tétraèdre aux angles dièdres autour d'un sommet, est donnée par la relation suivante :
\Delta_i^2 = \Delta_j^2 + \Delta_k^2 + \Delta_l^2 - 2(\Delta_j\Delta_k\cos\theta_{il} + \Delta_j\Delta_l \cos\theta_{ik} + \Delta_k\Delta_l \cos\theta_{ij})
Point intérieur
Soit P tout point intérieur d'un tétraèdre de volume V dont les sommets sont A, B, C et D, et dont les aires des faces opposées sont Fa , Fb , Fc et Fd. PuisInégalités proposées dans « Crux Mathematicorum », [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].
PA \cdot F_a + PB \cdot F_b + PC \cdot F_c + PD \cdot F_d \geq 9V.
Pour les sommets A, B, C et D, le point intérieur P et les pieds J, K, L et M des perpendiculaires de P aux faces,
PA+PB+PC+PD \geq 3(PJ+PK+PL+PM).
Inradius
En désignant le rayon intérieur d'un tétraèdre par r et le rayon intérieur de ses faces triangulaires par ri pour i1, 2, 3, 4, nous avons
\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} + \frac{1}{r_4^2} \leq \frac{2} {r^2},
avec égalité si et seulement si le tétraèdre est régulier.
Visages
La somme des aires de trois faces quelconques est supérieure à l’aire de la quatrième face.
Tétraèdres entiers
Il existe des tétraèdres ayant des longueurs d'arêtes, des surfaces de face et des volumes entiers. Un exemple a un bord de 896, le bord opposé de 990 et les quatre autres bords de 1073 ; deux faces ont des aires de et les deux autres ont des aires de , tandis que le volume est .Wacław Sierpiński, Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (éd. original 1962).
Un tétraèdre peut avoir un volume entier et des entiers consécutifs comme arêtes, un exemple étant celui avec les arêtes 6, 7, 8, 9, 10 et 11 et le volume 48.
Polyèdres et composés associés
Un tétraèdre régulier peut être vu comme une pyramide triangulaire.
Un tétraèdre régulier peut être vu comme un polyèdre dégénéré, un antiprisme digonal uniforme, où les polygones de base sont des digons réduits.
Un tétraèdre régulier peut être vu comme un polyèdre dégénéré, un double trapézoèdre digonal uniforme, contenant 6 sommets, dans deux ensembles d'arêtes colinéaires.
Un processus de troncature appliqué au tétraèdre produit une série de polyèdres uniformes. La troncature des arêtes jusqu'aux points produit l'octaèdre comme un tétraèdre rectifié. Le processus se termine par une birectification, réduisant les faces d'origine en points et produisant à nouveau le tétraèdre auto-dual.
Ce polyèdre est topologiquement lié dans le cadre d'une séquence de polyèdres réguliers avec des symboles de Schläfli {3, n}, se poursuivant dans le plan hyperbolique.
Le tétraèdre est topologiquement lié à une série de polyèdres réguliers et de pavages avec des figures de sommet d'ordre 3.
Composés :
Image:CubeAndStel.svg|Deux tétraèdres dans un cube
Image:Composé de cinq tétraèdres.png|Composé de cinq tétraèdres
Image:Composé de dix tétraèdres.png|Composé de dix tétraèdres
Un polyèdre intéressant peut être construit à partir de cinq tétraèdres qui se croisent. Ce composé de cinq tétraèdres est connu depuis des centaines d'années. Cela revient régulièrement dans le monde de l’origami. Rejoindre les vingt sommets formerait un dodécaèdre régulier. Il existe des formes pour gauchers et pour droitiers, qui sont des images miroir l’une de l’autre.
Applications
Analyse numérique
En analyse numérique, les formes tridimensionnelles complexes sont généralement décomposées ou approchées par un maillage polygonal de tétraèdres irréguliers lors du processus d'établissement des équations pour l'analyse par éléments finis, en particulier dans la solution numérique d'équations aux dérivées partielles. Ces méthodes ont de nombreuses applications pratiques dans les domaines de la dynamique des fluides computationnelle, de l'aérodynamique, des champs électromagnétiques, du génie civil, du génie chimique, de l'architecture et de l'ingénierie navales et des domaines connexes.
Chimie
La forme du tétraèdre est observée dans la nature dans les molécules liées de manière covalente. Tous les atomes hybrides sp3 sont entourés d’atomes (ou de paires d’électrons isolées) aux quatre coins d’un tétraèdre. Par exemple dans une molécule de méthane () ou un ion ammonium (), quatre atomes d'hydrogène entourent un atome central de carbone ou d'azote avec une symétrie tétraédrique. Pour cette raison, l’une des principales revues en chimie organique s’appelle Tetrahedron. L'angle central entre deux sommets quelconques d'un tétraèdre parfait est arccos(−), soit environ 109,47°.
L'eau, , a également une structure tétraédrique, avec deux atomes d'hydrogène et deux paires d'électrons libres autour des atomes d'oxygène centraux. Sa symétrie tétraédrique n’est cependant pas parfaite, car les paires isolées se repoussent plus que les liaisons O – H simples.
Les diagrammes de phases quaternaires en chimie sont représentés graphiquement sous forme de tétraèdres.
Cependant, les diagrammes de phases quaternaires en ingénierie des communications sont représentés graphiquement sur un plan bidimensionnel.
Électricité et électronique
Si six résistances égales sont soudées ensemble pour former un tétraèdre, alors la résistance mesurée entre deux sommets est la moitié de celle d’une résistance.
Étant donné que le silicium est le semi-conducteur le plus couramment utilisé dans l'électronique à semi-conducteurs et que le silicium a une valence de quatre, la forme tétraédrique des quatre liaisons chimiques du silicium a une forte influence sur la façon dont les cristaux de silicium se forment et sur les formes qu'ils prennent.
Jeux
Le jeu royal d'Ur, datant de 2600 avant JC, se jouait avec un jeu de dés tétraédriques.
Surtout dans les jeux de rôle, ce solide est connu sous le nom de dé à 4 faces, l'un des dés polyédriques les plus courants, le nombre obtenu apparaissant autour du bas ou sur le sommet supérieur. Certains puzzles de type Rubik's Cube sont tétraédriques, comme le Pyraminx et le Pyramorphix.
Le filet d'un tétraèdre constitue également la célèbre Triforce de la franchise The Legend of Zelda de Nintendo.
Espace colorimétrique
Les tétraèdres sont utilisés dans les algorithmes de conversion d'espace colorimétrique spécifiquement pour les cas dans lesquels l'axe de luminance segmente l'espace colorimétrique en diagonale (par exemple RVB, CMJ).
Art contemporain
L'artiste autrichienne Martina Schettina a créé un tétraèdre à l'aide de lampes fluorescentes. Il a été présenté à la biennale d'art lumineux Autriche 2010.
Il est utilisé comme pochette d'album, entouré de flammes noires sur The End of All Things to Come de Mudvayne.
La culture populaire
Stanley Kubrick avait initialement prévu que le monolithe dans 2001 : L'Odyssée de l'espace soit un tétraèdre, selon Marvin Minsky, un scientifique cognitif et expert en intelligence artificielle qui a conseillé Kubrick sur l'ordinateur HAL 9000 et d'autres aspects du film. Kubrick a abandonné l'idée d'utiliser le tétraèdre, car un visiteur qui en voyait des images ne reconnaissait pas ce que c'était et il ne voulait rien que les gens ordinaires ne comprennent dans le film.
Dans la saison 6, épisode 15 de Futurama, nommé « Möbius Dick », l'équipage de Planet Express traverse une zone de l'espace connue sous le nom de tétraèdre des Bermudes. De nombreux autres navires passant par la zone ont mystérieusement disparu, dont celui du premier équipage du Planet Express.
Dans le film Oblivion de 2013, la grande structure en orbite au-dessus de la Terre est de conception tétraédrique et appelée Tet.
Géologie
L'hypothèse tétraédrique, initialement publiée par William Lowthian Green pour expliquer la formation de la Terre, était populaire jusqu'au début du 20e siècle.
Ingénierie structurelle
Un tétraèdre ayant des bords rigides est intrinsèquement rigide. Pour cette raison, il est souvent utilisé pour rigidifier les structures de châssis telles que les structures spatiales.
Aviation
Sur certains aérodromes, un grand cadre en forme de tétraèdre à deux côtés recouvert d'un matériau mince est monté sur un pivot rotatif et pointe toujours face au vent. Il est construit suffisamment grand pour être vu du ciel et est parfois éclairé. Son but est de servir de référence aux pilotes indiquant la direction du vent.
Graphique tétraédrique
Le squelette du tétraèdre (les sommets et les arêtes) forme un graphe, avec 4 sommets et 6 arêtes. C'est un cas particulier du graphe complet, K4, et du graphe de roue, W4. C'est l'un des 5 graphes platoniciens, chacun étant un squelette de son solide platonicien.