Traduit du grec par « cercle de séparation », quel est le nom de la ligne apparente qui sépare la terre du ciel ?
Horizon
La géométrie particulière de la perspective où les lignes parallèles convergent au loin a stimulé le développement de la géométrie projective qui pose un point à l'infini où les lignes parallèles se rencontrent. Dans son livre Geometry of an Art (2007), Kirsti Andersen décrit l'évolution du dessin en perspective et de la science jusqu'en 1800, notant qu'il n'est pas nécessaire que des points de fuite se trouvent à l'horizon. Dans un chapitre intitulé « Horizon », John Stillwell a raconté comment la géométrie projective a conduit à la géométrie d'incidence, l'étude abstraite moderne de l'intersection de lignes. Stillwell s'est également aventuré dans les fondements des mathématiques dans une section intitulée « Quelles sont les lois de l'algèbre ? L'« algèbre des points », donnée à l'origine par Karl von Staudt et dérivant les axiomes d'un champ, a été déconstruite au XXe siècle, donnant lieu à une grande variété de possibilités mathématiques. Stillwell déclare
L'horizon ou l'horizon est la ligne apparente qui sépare la terre du ciel, la ligne qui divise toutes les directions visibles en deux catégories : celles qui coupent la surface de la Terre et celles qui ne coupent pas la surface de la Terre. À de nombreux endroits, l'horizon véritable est obscurci par des arbres, des bâtiments, des montagnes, etc., et l'intersection résultante de la terre et du ciel est appelée l'horizon visible. Lorsque l’on regarde la mer depuis un rivage, la partie de la mer la plus proche de l’horizon est appelée le large.
Le mot horizon dérive du grec "ὁρίζων κύκλος" horizōn kyklos, "cercle de séparation", du verbe ὁρίζω horizō, "diviser", "séparer", et celui de "ὅρος" (oros), "frontière, point de repère" .
Apparence et utilisation
Historiquement, la distance à l'horizon visible en mer a été extrêmement importante car elle représentait la portée maximale de communication et de vision avant le développement de la radio et du télégraphe. Même aujourd'hui, lorsqu'on pilote un avion selon les règles de vol à vue, une technique appelée vol d'attitude est utilisée pour contrôler l'avion, où le pilote utilise la relation visuelle entre le nez de l'avion et l'horizon pour contrôler l'avion. Un pilote peut également conserver son orientation spatiale en se référant à l'horizon.
Dans de nombreux contextes, notamment dans le dessin en perspective, la courbure de la Terre est ignorée et l'horizon est considéré comme la ligne théorique vers laquelle convergent les points de n'importe quel plan horizontal (lorsqu'ils sont projetés sur le plan de l'image) à mesure que leur distance par rapport à l'observateur augmente. Pour les observateurs proches du niveau de la mer, la différence entre cet horizon géométrique (qui suppose un plan de sol parfaitement plat et infini) et l'horizon réel (qui suppose une surface terrestre sphérique) est imperceptible à l'œil nu (mais pour quelqu'un se trouvant sur une colline de 1 000 mètres face à la mer, l'horizon véritable sera environ un degré en dessous d'une ligne horizontale).
En astronomie, l'horizon est le plan horizontal traversant (les yeux de) l'observateur. C'est le plan fondamental du système de coordonnées horizontales, le lieu des points ayant une altitude de zéro degré. Bien que similaire à l'horizon géométrique, dans ce contexte, un horizon peut être considéré comme un plan dans l'espace plutôt que comme une ligne sur un plan d'image.
Distance à l'horizon
On voit généralement plus loin le long de la surface courbe de la Terre qu'un simple calcul géométrique ne le permet en raison de l'erreur de réfraction. Si la surface du sol ou de l'eau est plus froide que l'air au-dessus, une couche d'air froide et dense se forme près de la surface, provoquant la réfraction de la lumière vers le bas lors de son déplacement et, par conséquent, dans une certaine mesure, autour de la surface. courbure de la Terre. L’inverse se produit si le sol est plus chaud que l’air au-dessus, comme cela arrive souvent dans les déserts, produisant des mirages. En guise de compensation approximative de la réfraction, les géomètres mesurant des distances plus longues que 300 pieds soustraient 14 % de l'erreur de courbure calculée et s'assurent que les lignes de visée sont à au moins 5 pieds du sol, afin de réduire les erreurs aléatoires créées par la réfraction.
Cependant, en ignorant l'effet de la réfraction atmosphérique, la distance à l'horizon d'un observateur proche de la surface de la Terre est d'environ
d \environ 3,57\sqrt{h} \,,
où d est en kilomètres et h est la hauteur au-dessus du sol en mètres.
Exemples:
* Pour un observateur debout au sol avec h = , l'horizon est à une distance de .
* Pour un observateur debout au sol avec h = , l'horizon est à une distance de .
* Pour un observateur debout sur une colline ou une tour de hauteur, l'horizon est à une distance de .
* Pour un observateur se tenant au sommet du Burj Khalifa (en hauteur), l'horizon est à une distance de .
* Pour un observateur au sommet du mont Everest (en altitude), l'horizon est à une distance de .
Avec d en miles (c'est-à-dire "miles terrestres" de et h en pieds,
d \approx \sqrt{1.5h} \environ 1.22\sqrt{h} \,.
Exemples, en supposant qu'il n'y ait pas de réfraction :
* Pour un observateur au sol ayant les yeux à hauteur de (1,70 m), l'horizon est à une distance de .
* Pour un observateur debout sur une colline ou une tour en hauteur, l'horizon est à une distance de .
* Pour un observateur au sommet de l'Aconcagua (en hauteur), l'horizon du niveau de la mer à l'ouest est à une distance de .
* Pour un pilote d'U-2, alors qu'il vole à son plafond de service, l'horizon est à une distance de
Modèle géométrique
Si la Terre est considérée comme une sphère sans atmosphère, la distance jusqu’à l’horizon peut alors être facilement calculée. (Remarque : le rayon de courbure de la Terre varie en réalité de 1 % entre l'équateur et les pôles, cette formule n'est donc pas absolument exacte, même en supposant l'absence de réfraction.)
Le théorème sécant-tangente stipule que
\mathrm{OC}^2 = \mathrm{OA}\times\mathrm{OB}\,.
Effectuez les substitutions suivantes :
*d OC
distance à l'horizon
* TOUCHE
 diamètre de la Terre
* h OB
 hauteur de l'observateur au-dessus du niveau de la mer
* D+h OA
diamètre de la Terre plus hauteur de l'observateur au-dessus du niveau de la mer
La formule devient maintenant
d^2 = h(D+h)\,\!
ou
d \sqrt{h(D+h)}
\sqrt{h(2R+h)}\,,
où R est le rayon de la Terre.
L'équation peut également être dérivée à l'aide du théorème de Pythagore.
Puisque la ligne de visée est tangente à la Terre, elle est perpendiculaire au rayon de l’horizon. Cela crée un triangle rectangle, avec la somme du rayon et de la hauteur comme hypoténuse. Avec
* d = distance à l'horizon
* h = hauteur de l'observateur au-dessus du niveau de la mer
* R = rayon de la Terre
se référer au deuxième chiffre à droite conduit à ce qui suit :
(R+h)^2 = R^2 + d^2 \,\!
R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + d^2 \,\!
d = \sqrt{h(2R + h)} \,.
Une autre relation implique la distance s le long de la surface courbe de la Terre jusqu'à l'horizon ; avec γ en radians,
s = R \gamma \,;
alors
\cos \gamma \cos\frac{s}{R}
\frac{R}{R+h}\,.
La résolution de s donne
s=R\cos^{-1}\frac{R}{R+h} \,.
La distance s peut également être exprimée en termes de distance de visibilité directe d ; à partir de la deuxième figure à droite,
\tan \gamma = \frac {d} {R} \,;
remplacer γ et réorganiser donne
s=R\tan^{-1}\frac{d}{R} \,.
Les distances d et s sont presque les mêmes lorsque la hauteur de l'objet est négligeable par rapport au rayon (c'est-à-dire h ≪ R).
Formules géométriques approximatives
Si l'observateur est proche de la surface de la terre, alors il est valable de ne pas tenir compte de h dans le terme , et la formule devient
d = \sqrt{2Rh} \,.
En utilisant les kilomètres pour d et R et les mètres pour h, et en prenant le rayon de la Terre comme étant de 6 371 km, la distance à l'horizon est
d \approx \sqrt{2\cdot6371\cdot{h/1000}} \approx 3.570\sqrt{h} \,,.
En utilisant les unités impériales, avec d et R en milles terrestres (tels qu'ils sont couramment utilisés sur terre) et h en pieds, la distance à l'horizon est
d \approx \sqrt{2\cdot3963\cdot{h/5280}} \approx \sqrt{1.5h} \approx 1.22 \sqrt{h} .
Si d est en milles marins et h en pieds, le facteur constant est d'environ 1,06, ce qui est suffisamment proche de 1 pour qu'il soit souvent ignoré, ce qui donne :
d \approx \sqrt h
Ces formules peuvent être utilisées lorsque h est beaucoup plus petit que le rayon de la Terre (6 371 km ou 3 959 mi), y compris toutes les vues depuis les sommets des montagnes, les avions ou les ballons à haute altitude. Avec les constantes données, les formules métriques et impériales sont précises à 1 % près (voir la section suivante pour savoir comment obtenir une plus grande précision).
Formule exacte pour une Terre sphérique
Si h est significatif par rapport à R, comme pour la plupart des satellites, alors l'approximation faite précédemment n'est plus valable, et la formule exacte est requise :
d = \sqrt{2Rh + h^2} \,,
où R est le rayon de la Terre (R et h doivent être dans les mêmes unités). Par exemple,
si un satellite se trouve à une hauteur de 2 000 km, la distance à l'horizon est de 5 430 km ;
négliger le deuxième terme entre parenthèses donnerait une distance de , soit une erreur de 7%.
Objets au-dessus de l'horizon
Pour calculer la plus grande distance à laquelle un observateur peut voir le sommet d'un objet au-dessus de l'horizon, calculez la distance à l'horizon pour un observateur hypothétique au-dessus de cet objet et ajoutez-la à la distance de l'observateur réel à l'horizon. Par exemple, pour un observateur mesurant 1,70 m debout au sol, l'horizon est à 4,65 km. Pour une tour d'une hauteur de 100 m, la distance à l'horizon est de 35,7 km. Ainsi un observateur sur une plage peut voir le sommet de la tour à condition qu'il ne se trouve pas à plus de 40,35 km. À l’inverse, si un observateur sur un bateau () peut simplement voir la cime des arbres sur une rive proche (), les arbres se trouvent probablement à environ 16 km.
En référence à la figure de droite, le sommet du phare sera visible par une vigie dans un nid de pie au sommet d'un mât du bateau si
D_\mathrm{BL}
où DBL est en kilomètres et hB et hL sont en mètres.
Comme autre exemple, supposons qu'un observateur, dont les yeux sont à deux mètres au-dessus du sol, utilise des jumelles pour regarder un bâtiment éloigné dont il sait qu'il comprend trente étages, chacun mesurant 3,5 mètres de haut. Il compte les étages qu'il voit et constate qu'il n'y en a que dix. Ainsi vingt étages ou 70 mètres du bâtiment lui sont cachés par la courbure de la Terre. A partir de là, il peut calculer sa distance au bâtiment :
D \environ 3,57(\sqrt{2}+\sqrt{70})
ce qui fait environ 35 kilomètres.
Il est également possible de calculer la quantité visible d’un objet distant au-dessus de l’horizon. Supposons que l'œil d'un observateur se trouve à 10 mètres au-dessus du niveau de la mer et qu'il observe un navire situé à 20 km. Son horizon est :
 3,57 \sqrt{10}
kilomètres de lui, ce qui revient à environ 11,3 kilomètres. Le navire se trouve à 8,7 km supplémentaires. La hauteur d'un point du navire juste visible par l'observateur est donnée par :
h\approx\left(\frac{8.7}{3.57}\right)^2
ce qui fait presque exactement six mètres. L'observateur peut donc voir la partie du navire qui se trouve à plus de six mètres au-dessus du niveau de l'eau. La partie du navire qui se trouve en dessous de cette hauteur lui est cachée par la courbure de la Terre. Dans cette situation, on dit que le navire est en coque.
Effet de la réfraction atmosphérique
Si la Terre était un monde sans air comme la Lune, les calculs ci-dessus seraient précis. Cependant, la Terre possède une atmosphère d'air dont la densité et l'indice de réfraction varient considérablement en fonction de la température et de la pression. Cela fait que l'air réfracte la lumière à des degrés divers, affectant l'apparence de l'horizon. Habituellement, la densité de l’air juste au-dessus de la surface de la Terre est supérieure à sa densité à des altitudes plus élevées. Cela rend son indice de réfraction plus élevé près de la surface que plus élevé, ce qui fait que la lumière qui se déplace à peu près horizontalement est réfractée vers le bas. Cela rend la distance réelle jusqu'à l'horizon supérieure à la distance calculée avec des formules géométriques. Dans des conditions atmosphériques standards, la différence est d'environ 8 %. Cela change le facteur de 3,57, dans les formules métriques utilisées ci-dessus, à environ 3,86. Cette correction peut être, et est souvent, appliquée comme une assez bonne approximation lorsque les conditions sont proches de la norme. Lorsque les conditions sont inhabituelles, cette approximation échoue. La réfraction est fortement affectée par les gradients de température, qui peuvent varier considérablement d'un jour à l'autre, notamment au-dessus de l'eau. Dans des cas extrêmes, généralement au printemps, lorsque l'air chaud recouvre l'eau froide, la réfraction peut permettre à la lumière de suivre la surface de la Terre sur des centaines de kilomètres. Des conditions opposées se produisent, par exemple, dans les déserts, où la surface est très chaude, de sorte que l'air chaud et de faible densité se trouve en dessous de l'air plus froid. Cela provoque une réfraction de la lumière vers le haut, provoquant des effets de mirage qui rendent le concept d'horizon quelque peu dénué de sens. Les valeurs calculées pour les effets de réfraction dans des conditions inhabituelles ne sont donc qu'approximatives. Néanmoins, des tentatives ont été faites pour les calculer avec plus de précision que la simple approximation décrite ci-dessus.
En dehors de la plage de longueurs d’onde visuelles, la réfraction sera différente. Pour les radars (par exemple pour les longueurs d'onde de 300 à 3 mm soit des fréquences comprises entre 1 et 100 GHz), le rayon de la Terre peut être multiplié par 4/3 pour obtenir un rayon effectif donnant un facteur de 4,12 dans la formule métrique, c'est-à-dire que l'horizon radar sera 15% au-delà de l'horizon géométrique ou 7% au-delà du visuel. Le facteur 4/3 n'est pas exact, car dans le cas visuel la réfraction dépend des conditions atmosphériques.
;Méthode d'intégration—Sweer
Si le profil de densité de l'atmosphère est connu, la distance d à l'horizon est donnée par
d=}\left( \psi +\delta \right) \,,
où RE est le rayon de la Terre, ψ est le pendage de l'horizon et δ est la réfraction de l'horizon. Le pendage est déterminé assez simplement à partir de
\cos \psi = \frac{\mu}_{0}}{\left( }+h \right)\mu } \,,
où h est la hauteur de l'observateur au-dessus de la Terre, μ est l'indice de réfraction de l'air à la hauteur de l'observateur et μ0 est l'indice de réfraction de l'air à la surface de la Terre.
La réfraction doit être trouvée par intégration de
\delta =-\int_{0}^{h}{\tan \phi \frac{\text{d}\mu }{\mu }} \,,
où \phi\,\! est l'angle entre le rayon et une ligne passant par le centre de la Terre. Les angles ψ et \phi\,\! sont liés par
\phi =90{}^\circ -\psi \,.
;Méthode simple—Jeune
Une approche beaucoup plus simple, qui produit essentiellement les mêmes résultats que l'approximation du premier ordre décrite ci-dessus, utilise le modèle géométrique mais utilise un rayon . La distance à l'horizon est alors
d=\sqrt{2 R^\prime h} \,.
En prenant le rayon de la Terre comme 6 371 km, avec d en km et h en m,
d \environ 3,86 \sqrt{h} \,;
avec d en mi et h en ft,
d \environ 1,32 \sqrt{h} \,.
Les résultats de la méthode de Young sont assez proches de ceux de la méthode de Sweer et sont suffisamment précis à de nombreuses fins.
Courbure de l'horizon
Depuis un point situé au-dessus de la surface, l'horizon apparaît légèrement courbé (c'est un cercle). Il existe une relation géométrique fondamentale entre cette courbure visuelle \kappa, l'altitude et le rayon de la Terre. C'est
\kappa=\sqrt{\left(1+\frac{h}{R}\right)^2-1}\ .
La courbure est l'inverse du rayon angulaire de courbure en radians. Une courbure de 1 apparaît comme un cercle d'un rayon angulaire de 45° correspondant à une altitude d'environ 2 640 km au-dessus de la surface de la Terre. À une altitude de 10 km (33 000 ft, l'altitude de croisière typique d'un avion de ligne), la courbure mathématique de l'horizon est d'environ 0,056, la même courbure du bord d'un cercle d'un rayon de 10 m vu de 56 cm directement au-dessus. le centre du cercle. Cependant, la courbure apparente est inférieure à celle-ci en raison de la réfraction de la lumière dans l'atmosphère et du fait que l'horizon est souvent masqué par de hautes couches nuageuses qui réduisent l'altitude au-dessus de la surface visuelle.
L'horizon se courbe selon : sqrt(radius^2 + distance^2)-radius, équivalent à la distance^2/R*2. A 100 km, il dévale 784 m.
Points de fuite
L'horizon est un élément clé du plan de l'image dans la science de la perspective graphique. En supposant que le plan de l'image soit vertical par rapport au sol et que P soit la projection perpendiculaire du point oculaire O sur le plan de l'image, l'horizon est défini comme la ligne horizontale passant par P. Le point P est le point de fuite des lignes perpendiculaires à l'image. Si S est un autre point à l’horizon, alors c’est le point de fuite de toutes les droites parallèles à OS. Mais Brook Taylor (1719) indiquait que le plan de l’horizon déterminé par O et l’horizon était comme n’importe quel autre plan :
Le terme de ligne horizontale, par exemple, est propre à confiner les notions d'un apprenant au plan de l'horizon, et à lui faire imaginer que ce plan jouit de certains privilèges particuliers, qui rendent les figures plus faciles et plus commodes. à décrire, au moyen de cette ligne horizontale, que les figures dans tout autre plan ;… Mais dans ce livre, je ne fais aucune différence entre le plan de l'horizon et tout autre plan quel qu'il soit...
La géométrie particulière de la perspective où les lignes parallèles convergent au loin a stimulé le développement de la géométrie projective qui pose un point à l'infini où les lignes parallèles se rencontrent. Dans son livre Geometry of an Art (2007), Kirsti Andersen décrit l'évolution du dessin en perspective et de la science jusqu'en 1800, notant qu'il n'est pas nécessaire que des points de fuite se trouvent à l'horizon. Dans un chapitre intitulé « Horizon », John Stillwell a raconté comment la géométrie projective a conduit à la géométrie d'incidence, l'étude abstraite moderne de l'intersection de lignes. Stillwell s'est également aventuré dans les fondements des mathématiques dans une section intitulée « Quelles sont les lois de l'algèbre ? L'« algèbre des points », donnée à l'origine par Karl von Staudt et dérivant les axiomes d'un champ, a été déconstruite au XXe siècle, donnant lieu à une grande variété de possibilités mathématiques. Stillwell déclare
Cette découverte datant d’il y a 100 ans semble capable de bouleverser les mathématiques, même si elle n’a pas encore été pleinement absorbée par la communauté mathématique. Non seulement cela défie la tendance à transformer la géométrie en algèbre, mais cela suggère que la géométrie et l’algèbre ont toutes deux une base plus simple qu’on ne le pensait auparavant.