Depuis 1951, quel est le nombre maximum de mandats consécutifs complets pouvant être remplis par un président américain ?
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Par exemple, une application f : ℕ → ℙ(ℕ) de l'ensemble des nombres naturels (ordonnés par divisibilité) à l'ensemble puissant des nombres naturels (ordonnés par inclusion d'ensemble) peut être définie en prenant chaque nombre à l'ensemble de ses nombres premiers. diviseurs. Il préserve l'ordre : si x divise y, alors chaque diviseur premier de x est également un diviseur premier de y. Cependant, il n'est ni injectif (puisqu'il mappe à la fois 12 et 6 sur {2,3}) ni réfléchissant l'ordre (puisque d'ailleurs 12 ne divise pas 6). En prenant à la place chaque nombre à l'ensemble de ses diviseurs de puissance premiers, on définit une application g : ℕ → ℙ(ℕ) qui préserve l'ordre, reflète l'ordre et donc intègre l'ordre. Ce n'est pas un isomorphisme d'ordre (puisqu'il ne mappe par exemple aucun nombre à l'ensemble {4}), mais il peut en faire un en limitant son codomaine à g(ℕ). L'image de droite montre un sous-ensemble de ℕ et son image isomorphe sous g. La construction d'un tel isomorphisme d'ordre en un ensemble de puissances peut être généralisée à une large classe d'ordres partiels, appelés réseaux distributifs, voir « Théorème de représentation de Birkhoff ». Si l'on compte seulement jusqu'à l'isomorphisme, nous obtenons 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318,… . Un poset est localement fini si chaque intervalle est fini. Par exemple, les entiers sont localement finis selon leur ordre naturel. L'ordre lexicographique sur le produit cartésien ℕ×ℕ n'est pas localement fini, puisque par ex. (1,2)≤(1,3)≤(1,4)≤(1,5)≤...≤(2,1).
En mathématiques, en particulier en théorie de l'ordre, un ensemble partiellement ordonné (ou poset) formalise et généralise le concept intuitif d'ordre, de séquençage ou d'arrangement des éléments d'un ensemble. Un poset est constitué d'un ensemble avec une relation binaire qui indique que, pour certaines paires d'éléments de l'ensemble, l'un des éléments précède l'autre. Une telle relation est appelée ordre partiel pour refléter le fait que toutes les paires d'éléments n'ont pas besoin d'être liées : pour certaines paires, il se peut qu'aucun élément ne précède l'autre dans le poset.
Ainsi, les ordres partiels généralisent les ordres totaux plus familiers, dans lesquels chaque paire est liée. Un poset fini peut être visualisé à travers son diagramme de Hasse, qui représente la relation d'ordre.

Un exemple réel et familier d’un ensemble partiellement ordonné est un ensemble de personnes classées par descendance généalogique. Certains couples de personnes entretiennent la relation descendant-ancêtre, mais d’autres couples n’entretiennent pas une telle relation.

Définition formelle

Un ordre partiel (non strict) est une relation binaire "≤" sur un ensemble P qui est réflexif, antisymétrique et transitif, c'est-à-dire qui satisfait pour tout a, b et c dans P :

*a ≤ a (réflexivité) ;
*si a ≤ b et b ≤ a, alors a = b (antisymétrie) ;
*si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c (transitivité).

En d’autres termes, un ordre partiel est un préordre antisymétrique.

Un ensemble avec un ordre partiel est appelé un ensemble partiellement ordonné (également appelé poset). Le terme ensemble ordonné est parfois également utilisé, à condition qu'il ressorte clairement du contexte qu'il ne s'agit pas d'un autre type d'ordre. En particulier, les ensembles totalement ordonnés peuvent également être appelés « ensembles ordonnés », en particulier dans les domaines où ces structures sont plus courantes que les posets.

Pour a, b, éléments d'un ensemble partiellement ordonné P, si a ≤ b ou b ≤ a, alors a et b sont comparables. Sinon ils sont incomparables. Dans la figure en haut à droite, par ex. {x} et {x,y,z} sont comparables, alors que {x} et {y} ne le sont pas. Un ordre partiel dans lequel chaque paire d'éléments est comparable est appelé ordre total ou ordre linéaire ; un ensemble totalement ordonné est également appelé chaîne (par exemple, les nombres naturels avec leur ordre standard). Un sous-ensemble d'un poset dans lequel aucun élément distinct n'est comparable est appelé une antichaîne (par exemple l'ensemble des singletons dans la figure en haut à droite). Un élément a est dit couvert par un autre élément b, noté a c  g. De même, un élément m dans P est un élément minimal s'il n'y a pas d'élément a dans P tel que a Z b si et seulement si :
* a, b ∈ X avec a ≤X b, ou
* a, b ∈ Y avec a ≤Y b, ou
* a ∈ X et b ∈ Y.

Si deux posets sont bien ordonnés, leur somme ordinale l’est aussi.
L'opération de somme ordinale est l'une des deux opérations utilisées pour former des ordres partiels série-parallèle, et dans ce contexte est appelée composition en série. L'autre opération utilisée pour former ces ordres, l'union disjointe de deux ensembles partiellement ordonnés (sans relation d'ordre entre les éléments d'un ensemble et les éléments de l'autre ensemble) est appelée dans ce contexte composition parallèle.

Commandes partielles strictes et non strictes

Dans certains contextes, l'ordre partiel défini ci-dessus est appelé ordre partiel non strict (ou réflexif, ou faible). Dans ces contextes, un ordre partiel strict (ou irréflexif) « est à ≥ car sur un ensemble donné détermine de manière unique les trois autres.

En général, deux éléments x et y d'un ordre partiel peuvent entretenir l'une des quatre relations mutuellement exclusives : soit x y, soit x et y sont incomparables (aucun des trois autres). Un ensemble totalement ordonné est celui qui exclut cette quatrième possibilité : toutes les paires d’éléments sont comparables et on dit alors que la trichotomie est vraie. Les nombres naturels, les entiers, les rationnels et les réels sont tous totalement ordonnés par leur grandeur algébrique (signée) alors que les nombres complexes ne le sont pas. Cela ne veut pas dire que les nombres complexes ne peuvent pas être totalement ordonnés ; on pourrait par exemple les ordonner lexicographiquement via x+iy .

Par exemple, une application f : ℕ → ℙ(ℕ) de l'ensemble des nombres naturels (ordonnés par divisibilité) à l'ensemble puissant des nombres naturels (ordonnés par inclusion d'ensemble) peut être définie en prenant chaque nombre à l'ensemble de ses nombres premiers. diviseurs. Il préserve l'ordre : si x divise y, alors chaque diviseur premier de x est également un diviseur premier de y. Cependant, il n'est ni injectif (puisqu'il mappe à la fois 12 et 6 sur {2,3}) ni réfléchissant l'ordre (puisque d'ailleurs 12 ne divise pas 6). En prenant à la place chaque nombre à l'ensemble de ses diviseurs de puissance premiers, on définit une application g : ℕ → ℙ(ℕ) qui préserve l'ordre, reflète l'ordre et donc intègre l'ordre. Ce n'est pas un isomorphisme d'ordre (puisqu'il ne mappe par exemple aucun nombre à l'ensemble {4}), mais il peut en faire un en limitant son codomaine à g(ℕ). L'image de droite montre un sous-ensemble de ℕ et son image isomorphe sous g. La construction d'un tel isomorphisme d'ordre en un ensemble de puissances peut être généralisée à une large classe d'ordres partiels, appelés réseaux distributifs, voir « Théorème de représentation de Birkhoff ».

Nombre de commandes partielles

La séquence [ A001035] dans OEIS donne le nombre d'ordres partiels sur un ensemble de n éléments étiquetés :

Le nombre de commandes partielles strictes est le même que celui des commandes partielles.

Si l'on compte seulement jusqu'à l'isomorphisme, nous obtenons 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318,… .

Extension linéaire

Un ordre partiel ≤* sur un ensemble X est une extension d'un autre ordre partiel ≤ sur X à condition que pour tous les éléments x et y de X, chaque fois que x ≤ y, il arrive également que x ≤* y. Une extension linéaire est une extension qui est également un ordre linéaire (c'est-à-dire total). Chaque commande partielle peut être étendue à une commande totale (principe d'extension de commande).

En informatique, les algorithmes permettant de trouver des extensions linéaires d'ordres partiels (représentés comme les ordres d'accessibilité de graphes acycliques orientés) sont appelés tri topologique.

Dans la théorie des catégories

Chaque poset (et chaque précommande) peut être considéré comme une catégorie dans laquelle chaque hom-set possède au plus un élément. Plus explicitement, soit hom(x, y) {(x, y)} si x ≤ y (et sinon l'ensemble vide) et (y, z)∘(x, y)
 (x, z). Ces catégories sont parfois appelées posetales.

Les posets sont équivalents entre eux si et seulement s'ils sont isomorphes. Dans un poset, le plus petit élément, s'il existe, est un objet initial, et le plus grand élément, s'il existe, est un objet terminal. De plus, chaque set précommandé équivaut à un poset. Enfin, chaque sous-catégorie d'un poset est fermée par isomorphisme.

Ordres partiels dans les espaces topologiques

Si P est un ensemble partiellement ordonné qui a également reçu la structure d'un espace topologique, alors il est d'usage de supposer qu'il s'agit d'un sous-ensemble fermé de l'espace produit topologique P\times P. Sous cette hypothèse, les relations d'ordre partiel se comportent bien à limites dans le sens où si a_i\to a, b_i\to b et ai ≤ bi pour tout i, alors a ≤ b.

Intervalle

Pour a ≤ b, l'intervalle fermé est l'ensemble des éléments x satisfaisant a ≤ x ≤ b (c'est-à-dire a ≤ x et x ≤ b). Il contient au moins les éléments a et b.

En utilisant la relation stricte correspondante " b, auquel cas l'intervalle est vide.

Les intervalles semi-ouverts sont définis de la même manière.

Un poset est localement fini si chaque intervalle est fini. Par exemple, les entiers sont localement finis selon leur ordre naturel. L'ordre lexicographique sur le produit cartésien ℕ×ℕ n'est pas localement fini, puisque par ex. (1,2)≤(1,3)≤(1,4)≤(1,5)≤...≤(2,1).
En utilisant la notation d'intervalle, la propriété « a est couvert par b » peut être reformulée de manière équivalente comme [a,b] = {a,b}.

Ce concept d'intervalle dans un ordre partiel ne doit pas être confondu avec la classe particulière d'ordres partiels connue sous le nom d'ordres par intervalles.