Quelle est la racine carrée de 144 ?
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0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1} {2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,\!
En mathématiques, une racine carrée d'un nombre a est un nombre y tel que, autrement dit, un nombre y dont le carré (le résultat de la multiplication du nombre par lui-même, ou ) est a. Par exemple, 4 et −4 sont des racines carrées de 16 car .

Chaque nombre réel non négatif a a une racine carrée non négative unique, appelée racine carrée principale, notée , où √ est appelé signe radical ou base. Par exemple, la racine carrée principale de 9 est 3, noté = 3, car et 3 est non négatif. Le terme dont la racine est considérée est connu sous le nom de radicand. Le radicand est le nombre ou l'expression sous le signe radical, dans cet exemple 9.

Tout nombre positif a a deux racines carrées : , qui est positive, et −, qui est négative. Ensemble, ces deux racines sont notées ± (voir ± raccourci). Bien que la racine carrée principale d'un nombre positif ne soit qu'une de ses deux racines carrées, la désignation « racine carrée » est souvent utilisée pour désigner la racine carrée principale. Pour a positif, la racine carrée principale peut également être écrite en notation d'exposant, sous la forme a1/2.

Les racines carrées des nombres négatifs peuvent être discutées dans le cadre des nombres complexes. Plus généralement, les racines carrées peuvent être considérées dans tout contexte dans lequel est définie une notion de « quadrature » de certains objets mathématiques (notamment les algèbres de matrices, les anneaux d'endomorphisme, etc.)

Histoire

La tablette d'argile YBC 7289 de la Yale Babylonian Collection a été créée entre 1800 avant JC et 1600 avant JC, montrant et 30 sous la forme 1;24,51,10 et 42;25,35 en base 60 sur un carré traversé par deux diagonales.

Le papyrus mathématique Rhind est une copie datant de 1650 avant JC d'un papyrus berlinois antérieur et d'autres textes – peut-être le papyrus Kahun – qui montrent comment les Égyptiens extrayaient les racines carrées par une méthode de proportion inverse.

Dans l’Inde ancienne, la connaissance des aspects théoriques et appliqués du carré et de la racine carrée était au moins aussi ancienne que les Sulba Sutras, datés d’environ 800 à 500 avant JC (peut-être beaucoup plus tôt). Une méthode pour trouver de très bonnes approximations des racines carrées de 2 et 3 est donnée dans le Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata dans l'Aryabhatiya (section 2.4) a donné une méthode pour trouver la racine carrée de nombres comportant plusieurs chiffres.

Les anciens Grecs savaient que les racines carrées des nombres entiers positifs qui ne sont pas des carrés parfaits sont toujours des nombres irrationnels : des nombres qui ne peuvent être exprimés comme un rapport de deux entiers (c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas être écrits exactement comme m/n, où m et n sont des nombres entiers). Il s’agit du théorème d’Euclide X, 9 presque certainement dû à Théétète datant d’environ 380 avant JC.
Le cas particulier Racine carrée de 2| est supposé remonter aux Pythagoriciens et est traditionnellement attribué à Hippasus. C'est exactement la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1.

Dans l'ouvrage mathématique chinois Écrits sur le calcul, écrit entre 202 avant JC et 186 avant JC au début de la dynastie Han, la racine carrée est approximée en utilisant une méthode « d'excès et de déficit », qui dit de « ... combiner l'excès et le déficit comme le diviseur (en prenant) le numérateur du déficit multiplié par le dénominateur de l'excédent et le numérateur de l'excédent multiplié par le dénominateur du déficit, les combiner pour former le dividende.

Mahāvīra, un mathématicien indien du IXe siècle, fut le premier à déclarer que les racines carrées des nombres négatifs n'existent pas.

Un symbole pour les racines carrées, écrit sous la forme d'un R élaboré, a été inventé par Regiomontanus (1436-1476). Un R a également été utilisé pour Radix pour indiquer les racines carrées dans Ars Magna de Gerolamo Cardano.

Selon l'historien des mathématiques D.E. Smith, la méthode d'Aryabhata pour trouver la racine carrée a été introduite pour la première fois en Europe par Cataneo en 1546.

Néanmoins, Jeffrey A. Oaks affirme que les Arabes utilisaient la lettre « Jim », la première lettre du mot jidhr (« racine »), qui était placée sur un nombre pour indiquer sa racine carrée. La lettre « Jim » ressemble à la racine carrée actuelle. forme. Son usage remonte à la fin du XIIe siècle dans les travaux du mathématicien marocain Ibn al-Yasamin.

Le symbole « √ » pour la racine carrée a été utilisé pour la première fois sous forme imprimée en 1525 dans Coss de Christoph Rudolff (qui fut également le premier à utiliser les nouveaux signes « + » et « - »).

Propriétés et utilisations

La fonction racine carrée principale f(x) = (généralement simplement appelée « fonction racine carrée ») est une fonction qui mappe l'ensemble des nombres réels non négatifs sur lui-même. En termes géométriques, la fonction racine carrée mappe l’aire d’un carré à la longueur de son côté.

La racine carrée de x est rationnelle si et seulement si x est un nombre rationnel qui peut être représenté comme un rapport de deux carrés parfaits. (Voir racine carrée de 2 pour les preuves qu'il s'agit d'un nombre irrationnel et irrationnel quadratique pour une preuve de tous les nombres naturels non carrés.) La fonction racine carrée mappe les nombres rationnels en nombres algébriques (un sur-ensemble des nombres rationnels).

Pour tous les nombres réels x

\sqrt{x^2} \gauche|x\droite|
 
\begin{cases}
  x, & \mbox{if }x \ge 0 \\
  -x, & \mbox{if }x     (voir valeur absolue)

Pour tous les nombres réels non négatifs x et y,
\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y
et
\sqrt x = x^{1/2}.

La fonction racine carrée est continue pour tous les x non négatifs et différentiable pour tous les x positifs. Si f désigne la fonction racine carrée, sa dérivée est donnée par :
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.

La série de Taylor d'environ x = 0 converge pour ≤ 1 et est donnée par
\sqrt{1 + x} \sum_{n
0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1} {2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,\!

La racine carrée d'un nombre non négatif est utilisée dans la définition de la norme euclidienne (et de la distance), ainsi que dans des généralisations telles que les espaces de Hilbert. Il définit un concept important d’écart type utilisé en théorie des probabilités et en statistique. Il a une utilisation majeure dans la formule des racines d’une équation quadratique ; les champs quadratiques et les anneaux d'entiers quadratiques, basés sur des racines carrées, sont importants en algèbre et ont des utilisations en géométrie. Les racines carrées apparaissent fréquemment dans des formules mathématiques ailleurs, ainsi que dans de nombreuses lois physiques.

Calcul

La plupart des calculatrices de poche ont une racine carrée. Des feuilles de calcul informatiques et d'autres logiciels sont également fréquemment utilisés pour calculer les racines carrées. Les calculatrices de poche mettent généralement en œuvre des routines efficaces, telles que la méthode de Newton (souvent avec une estimation initiale de 1), pour calculer la racine carrée d'un nombre réel positif. Lors du calcul de racines carrées avec des tables de logarithmes ou des règles à calcul, on peut exploiter l'identité

e( a) / 2 ou
 10(10a) / 2.

où et 10 sont les logarithmes népérien et base 10.

Par essais et erreurs, on peut évaluer une estimation et l'augmenter ou la diminuer jusqu'à ce qu'elle soit suffisamment précise. Pour cette technique, il est prudent d'utiliser l'identité

(x + c)2=x2 + 2xc + c2

car cela permet d'ajuster l'estimation x d'un certain montant c et de mesurer le carré de l'ajustement en termes de l'estimation originale et de son carré. De plus, (x + c)2 ≈ x2 + 2xc lorsque c est proche de 0, car la tangente au graphique de x2 + 2xc + c2 en c0, en fonction de c seul, est y
 2xc + x2. Ainsi, de petits ajustements de x peuvent être planifiés en définissant 2xc sur a, ou c=a/(2x).

La méthode itérative la plus courante de calcul manuel de racine carrée est connue sous le nom de « méthode babylonienne » ou « méthode de Héron » d'après le philosophe grec du premier siècle Héron d'Alexandrie, qui l'a décrite pour la première fois.
La méthode utilise le même schéma itératif que celui de la méthode Newton – Raphson lorsqu'elle est appliquée à la fonction y f(x)
x2 − a, en utilisant le fait que sa pente en tout point est dy/dxf(x)
2x, mais est antérieur de plusieurs siècles., [https://books.google.com/books?idg3AlWip4R38C&pg
PA92 Chapitre 5, p. 92]

L'algorithme consiste à répéter un calcul simple qui aboutit à un nombre plus proche de la racine carrée réelle à chaque fois qu'il est répété avec son résultat comme nouvelle entrée. La motivation est que si x est une surestimation de la racine carrée d'un nombre réel non négatif a alors a/x sera une sous-estimation et donc la moyenne de ces deux nombres est une meilleure approximation que l'un ou l'autre. Cependant, l'inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques montre que cette moyenne est toujours une surestimation de la racine carrée (comme indiqué ci-dessous), et qu'elle peut donc servir de nouvelle surestimation avec laquelle répéter le processus, qui converge en conséquence des successions successives. les surestimations et les sous-estimations étant plus proches les unes des autres après chaque itération. Pour trouver x :

#Commencez avec une valeur de départ positive arbitraire x. Plus la racine carrée de a est proche, moins il faudra d’itérations pour obtenir la précision souhaitée.
#Remplacez x par la moyenne (x + a/x) / 2 entre x et a/x.
# Répétez à partir de l'étape 2, en utilisant cette moyenne comme nouvelle valeur de x.

Autrement dit, si une estimation arbitraire de x0 et , alors chaque xn est une approximation qui est meilleure pour un grand n que pour un petit n. Si a est positif, la convergence est quadratique, ce qui signifie qu’en approchant de la limite, le nombre de chiffres corrects double à peu près à chaque itération suivante. Si , la convergence est uniquement linéaire.

Utiliser l'identité
= 2-n,
le calcul de la racine carrée d'un nombre positif peut être réduit à celui d'un nombre compris dans l'intervalle . Cela simplifie la recherche d'une valeur de départ pour la méthode itérative proche de la racine carrée, pour laquelle une approximation polynomiale ou linéaire par morceaux peut être utilisée.

La complexité temporelle du calcul d’une racine carrée avec une précision de n chiffres est équivalente à celle de la multiplication de deux nombres à n chiffres.

Une autre méthode utile pour calculer la racine carrée est l'algorithme Shifting nième racine, appliqué pour .

Le nom de la fonction racine carrée varie d'un langage de programmation à l'autre, sqrt (souvent prononcé "squirt" ) étant courant, utilisé en C, C++ et dans les langages dérivés comme Javascript, PHP et Python.

Racines carrées de nombres négatifs et complexes

Le carré de tout nombre positif ou négatif est positif et le carré de 0 est 0. Par conséquent, aucun nombre négatif ne peut avoir une véritable racine carrée. Cependant, il est possible de travailler avec un ensemble de nombres plus inclusif, appelés nombres complexes, qui contient des solutions à la racine carrée d'un nombre négatif. Cela se fait en introduisant un nouveau nombre, noté i (parfois j, notamment dans le contexte de l'électricité où « i » représente traditionnellement le courant électrique) et appelé unité imaginaire, qui est définie telle que . En utilisant cette notation, nous pouvons considérer i comme la racine carrée de −1, mais notez que nous avons aussi et donc −i est aussi une racine carrée de −1. Par convention, la racine carrée principale de −1 est i, ou plus généralement, si x est un nombre non négatif, alors la racine carrée principale de −x est
\sqrt{-x} = je \sqrtx.
Le côté droit (ainsi que son négatif) est bien une racine carrée de −x, puisque
(i\sqrt x)^2 je^2(\sqrt x)^2
 (-1)x = -x.

Pour tout nombre complexe z non nul, il existe précisément deux nombres w tels que : la racine carrée principale de z (définie ci-dessous), et son négatif.

Racine carrée d'un nombre imaginaire

La racine carrée de i est donnée par
\sqrt{i} \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2}
 \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

Ce résultat peut être obtenu algébriquement en trouvant a et b tels que
je = (a+bi)^2\!
ou équivalent
je = a^2 + 2abi - b^2.\!
Cela donne les deux équations simultanées
\begin{cas}
2ab = 1\! \\
a^2 - b^2 = 0\!
\fin{cas}
avec des solutions
un B
 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.
Le choix de la racine principale donne alors
un B
 \frac{1}{\sqrt{2}}.

Le résultat peut également être obtenu en utilisant la formule et le réglage de de Moivre
je = \cos\left (\frac{\pi}{2}\right ) + i\sin\left (\frac{\pi}{2}\right )
qui produit
\begin{aligner}
 \sqrt{i} & = \left ( \cos\left ( \frac{\pi}{2} \right ) + i\sin \left (\frac{\pi}{2} \right ) \right )^ {\frac{1}{2}} \\
              & = \cos\left (\frac{\pi}{4} \right ) + i\sin\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \\
              & \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )
 \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) . \\
\fin{aligner}

Racine carrée principale d'un nombre complexe

Pour trouver une définition de la racine carrée qui nous permette de choisir systématiquement une valeur unique, appelée valeur principale, commençons par observer que tout nombre complexe x + iy peut être considéré comme un point dans le plan (x, y), exprimé en coordonnées cartésiennes. Le même point peut être réinterprété en utilisant les coordonnées polaires comme la paire (r, φ), où r ≥ 0 est la distance du point à l'origine, et φ est l'angle que fait la ligne de l'origine au point avec le positif axe réel (x). En analyse complexe, cette valeur s'écrit classiquement r eiφ. Si
 z=r e^{i \varphi} \text{ avec } -\pi
alors on définit la racine carrée principale de z comme suit :
\sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i \varphi / 2}.

La fonction racine carrée principale est ainsi définie en utilisant l'axe réel non positif comme branche coupée. La fonction racine carrée principale est holomorphe partout sauf sur l'ensemble des nombres réels non positifs (sur les réels strictement négatifs elle n'est même pas continue). La série de Taylor ci-dessus pour reste valable pour les nombres complexes x avec .

Ce qui précède peut également être exprimé en termes de fonctions trigonométriques :
\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \, \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left [ \cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{ \varphi}{2} \right ] .

Formule algébrique

Lorsque le nombre est exprimé en coordonnées cartésiennes, la formule suivante peut être utilisée pour la racine carrée principale :
\sqrt{z} = \sqrt{\frac