Combien de carrés un Rubik's Cube a-t-il de chaque côté ?
9
En géométrie, un carré est un quadrilatère régulier, ce qui signifie qu'il a quatre côtés égaux et quatre angles égaux (angles de 90 degrés ou angles droits). Il peut également être défini comme un rectangle dans lequel deux côtés adjacents ont la même longueur. Un carré de sommets ABCD serait noté . *Les diagonales d'un carré se coupent en deux et se rejoignent à 90° *Les quatre angles d'un carré sont égaux. (Chacun mesure 360°/4 = 90°, donc chaque angle d'un carré est un angle droit.) Forum Géométrique, 14 (2014), 129-144. *Le carré est un objet hautement symétrique. Il existe quatre lignes de symétrie de réflexion et une symétrie de rotation d'ordre 4 (passant par 90°, 180° et 270°). Son groupe de symétrie est le groupe dièdre D4. Un carré croisé est une facette du carré, un polygone auto-sécant créé en supprimant deux bords opposés d'un carré et en les reconnectant par ses deux diagonales. Il a la moitié de la symétrie du carré, Dih2, ordre 4. Il a la même disposition de sommets que le carré et est transitif par ses sommets. Il apparaît comme deux triangles 45-45-90 avec un sommet commun, mais l'intersection géométrique n'est pas considérée comme un sommet.
En géométrie, un carré est un quadrilatère régulier, ce qui signifie qu'il a quatre côtés égaux et quatre angles égaux (angles de 90 degrés ou angles droits). Il peut également être défini comme un rectangle dans lequel deux côtés adjacents ont la même longueur. Un carré de sommets ABCD serait noté .

Propriétés

Un carré est un cas particulier d'un losange (côtés égaux, angles égaux opposés), d'un cerf-volant (deux paires de côtés égaux adjacents), d'un parallélogramme (côtés opposés parallèles), d'un quadrilatère ou tétragon (polygone à quatre côtés) et d'un rectangle (côtés opposés égaux, angles droits) et possède donc toutes les propriétés de toutes ces formes, à savoir : http://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html/
*Les diagonales d'un carré se coupent en deux et se rejoignent à 90°
*Les diagonales d'un carré coupent ses angles en deux.
*Les côtés opposés d’un carré sont parallèles et de même longueur.
*Les quatre angles d'un carré sont égaux. (Chacun mesure 360°/4 = 90°, donc chaque angle d'un carré est un angle droit.)
*Les quatre côtés d'un carré sont égaux.
*Les diagonales d'un carré sont égales.
*Le carré est le cas n=2 des familles de n-hypercubes et n-orthoplexes.
*Un carré porte le symbole Schläfli {4}. Un carré tronqué, t{4}, est un octogone, {8}. Un carré alterné, h{4}, est un digon, {2}.

Périmètre et superficie

Le périmètre d’un carré dont les quatre côtés ont une longueur \ell est
P=4\elle

et l'aire A est
A=\ell^2.

À l’époque classique, la seconde puissance était décrite en termes d’aire d’un carré, comme dans la formule ci-dessus. Cela a conduit à l’utilisation du terme carré pour désigner l’élévation à la puissance seconde.

L'aire peut également être calculée à l'aide de la diagonale d selon
A=\frac{d^2}{2}.

En termes de rayon circonscrit R, l'aire d'un carré est
A=2R^2 ;

puisque l'aire du cercle est \pi R^2, le carré remplit environ 0,6366 de son cercle circonscrit.

En termes de rayon r, l'aire du carré est
A=4r^2.

Parce qu'il s'agit d'un polygone régulier, un carré est le quadrilatère de plus petit périmètre entourant une zone donnée. Dualement, un carré est le quadrilatère contenant la plus grande surface dans un périmètre donné. En effet, si A et P sont l'aire et le périmètre délimités par un quadrilatère, alors l'inégalité isopérimétrique suivante est vraie :
16A\le P^2
avec égalité si et seulement si le quadrilatère est un carré.

Un quadrilatère convexe de côtés successifs a, b, c, d est un carré si et seulement si
Josefsson, Martin, [http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf#10 |"Propriétés des quadrilatères équidiagonaux"]
Forum Géométrique, 14 (2014), 129-144.
A\frac{1}{2}(a^2+c^2)
\frac{1}{2}(b^2+d^2).

Autres faits

*Les diagonales d'un carré sont \scriptstyle \sqrt{2} (environ 1,414) fois la longueur d'un côté du carré. Cette valeur, connue sous le nom de racine carrée de 2 ou constante de Pythagore, fut le premier nombre prouvé irrationnel.
*Un carré peut également être défini comme un parallélogramme dont les diagonales sont égales et coupent les angles en deux.
*Si une figure est à la fois un rectangle (angles droits) et un losange (longueurs de bords égales), alors c'est un carré.
*Si un cercle est circonscrit autour d’un carré, l’aire du cercle est de \pi/2 (environ 1,5708) fois l’aire du carré.
*Si un cercle est inscrit dans le carré, l’aire du cercle est de \pi/4 (environ 0,7854) fois l’aire du carré.
*Un carré a une superficie plus grande que tout autre quadrilatère ayant le même périmètre.
*Un pavage carré est l'un des trois pavages réguliers du plan (les autres sont le triangle équilatéral et l'hexagone régulier).
*Le carré se divise en deux familles de polytopes en deux dimensions : l'hypercube et le polytope croisé. Le symbole Schläfli du carré est {4}.
*Le carré est un objet hautement symétrique. Il existe quatre lignes de symétrie de réflexion et une symétrie de rotation d'ordre 4 (passant par 90°, 180° et 270°). Son groupe de symétrie est le groupe dièdre D4.
*Si le cercle inscrit d'un carré ABCD a des points de tangence E sur AB, F sur BC, G sur CD et H sur DA, alors pour tout point P sur le cercle inscrit,
: 2(PH^2-PE^2) = PD^2-PB^2.
*Si d_i est la distance entre un point arbitraire du plan et le i-ème sommet d'un carré et R est le rayon circonscrit du carré, alors

:\tfrac{1}{4}(d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4) + 3R^4 = \left(\frac{d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4 ^2}{4} + R^2\droite)^2.

Coordonnées et équations

Les coordonnées des sommets d'un carré à côtés verticaux et horizontaux, centré à l'origine et de longueur de côté 2 sont (±1, ±1), tandis que l'intérieur de ce carré est constitué de tous les points (xi, yi) avec et . L'équation
\max(x^2, y^2) = 1

précise la limite de ce carré. Cette équation signifie "x2 ou y2, selon la valeur la plus grande, est égal à 1". Le rayon circonscrit de ce carré (le rayon d'un cercle passant par les sommets du carré) est la moitié de la diagonale du carré et est égal à \scriptstyle \sqrt{2}. Alors le cercle circonscrit a l’équation
x^2 + y^2 = 2.

Alternativement, l'équation

\gauche|x - a\droite| + \gauche|y - b\droite| = r.

peut également être utilisé pour décrire la limite d'un carré avec des coordonnées centrales (a, b) et un rayon horizontal ou vertical de r.

Construction

Les animations suivantes montrent comment construire un carré à l'aide d'un compas et d'une règle. Ceci est possible puisque 4 = 22, une puissance de deux.
:

Symétrie

Le carré a une symétrie Dih4, d'ordre 8. Il existe 2 sous-groupes dièdres : Dih2, Dih1 et 3 sous-groupes cycliques : Z4, Z2 et Z1.

Un carré est un cas particulier de nombreux quadrilatères convexes à symétrie inférieure :
* un rectangle avec deux côtés égaux adjacents
* un quadrilatère avec quatre côtés égaux et quatre angles droits
* un parallélogramme avec un angle droit et deux côtés égaux adjacents
* un losange à angle droit
* un losange avec tous les angles égaux
* un quadrilatère dont les diagonales sont égales et sont les médiatrices les unes des autres, c'est-à-dire un losange avec des diagonales égales

Ces 6 symétries expriment 8 symétries distinctes sur un carré. John Conway les étiquette par une lettre et un ordre groupé.

Chaque symétrie de sous-groupe autorise un ou plusieurs degrés de liberté pour les quadrilatères irréguliers. r8 est la symétrie totale du carré et a1 n’est pas une symétrie. d4, est la symétrie d'un rectangle et p4, est la symétrie d'un losange. Ces deux formes sont duales l’une de l’autre et ont la moitié de l’ordre de symétrie du carré. d2 est la symétrie d'un trapèze isocèle et p2 est la symétrie d'un cerf-volant. g2 définit la géométrie d'un parallélogramme.

Seul le sous-groupe g4 n’a pas de degrés de liberté mais peut être vu comme un carré aux arêtes dirigées.

Carrés inscrits dans des triangles

Chaque triangle aigu a trois carrés inscrits (carrés à l'intérieur tels que les quatre sommets d'un carré se trouvent sur un côté du triangle, donc deux d'entre eux se trouvent du même côté et donc un côté du carré coïncide avec une partie d'un côté). du triangle). Dans un triangle rectangle, deux des carrés coïncident et ont un sommet à l'angle droit du triangle, donc un triangle rectangle n'a que deux carrés inscrits distincts. Un triangle obtus n'a qu'un seul carré inscrit, dont un côté coïncide avec une partie du côté le plus long du triangle.

La fraction de l’aire du triangle remplie par le carré n’est pas supérieure à 1/2.

La quadrature du cercle

La quadrature du cercle est le problème proposé par les géomètres anciens, consistant à construire un carré de même aire qu'un cercle donné en utilisant seulement un nombre fini de pas avec un compas et une règle.

En 1882, la tâche s'est avérée impossible, en raison du théorème de Lindemann-Weierstrass qui prouve que pi () est un nombre transcendantal, plutôt qu'un nombre algébrique irrationnel ; c'est-à-dire qu'il n'est la racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels.

Géométrie non euclidienne

En géométrie non euclidienne, les carrés sont plus généralement des polygones à 4 côtés égaux et angles égaux.

En géométrie sphérique, un carré est un polygone dont les bords sont des arcs de grand cercle d'égale distance, qui se rencontrent à des angles égaux. Contrairement au carré de la géométrie plane, les angles d’un tel carré sont plus grands qu’un angle droit. Les carrés sphériques plus grands ont des angles plus grands.

En géométrie hyperbolique, les carrés à angles droits n’existent pas. Au contraire, les carrés de la géométrie hyperbolique ont des angles inférieurs aux angles droits. Les carrés hyperboliques plus grands ont des angles plus petits.

Exemples:

Carré croisé

Un carré croisé est une facette du carré, un polygone auto-sécant créé en supprimant deux bords opposés d'un carré et en les reconnectant par ses deux diagonales. Il a la moitié de la symétrie du carré, Dih2, ordre 4. Il a la même disposition de sommets que le carré et est transitif par ses sommets. Il apparaît comme deux triangles 45-45-90 avec un sommet commun, mais l'intersection géométrique n'est pas considérée comme un sommet.

Un carré croisé est parfois assimilé à un nœud papillon ou à un papillon. le rectangle croisé met en relation, comme une facette du rectangle, les deux cas particuliers de quadrilatères croisés.

L'intérieur d'un carré croisé peut avoir une densité de polygones de ±1 dans chaque triangle, en fonction de l'orientation de l'enroulement dans le sens horaire ou antihoraire.

Un carré et un carré barré ont en commun les propriétés suivantes :
*Les côtés opposés sont de même longueur.
*Les deux diagonales sont de même longueur.
*Il possède deux lignes de symétrie de réflexion et de symétrie de rotation d'ordre 2 (jusqu'à 180°).

Il existe dans la figure sommet d'un polyèdre étoilé uniforme, le tétrahémihexaèdre.

Graphiques

Le graphique complet K4 est souvent dessiné comme un carré avec les 6 arêtes connectées. Ce graphe représente également une projection orthographique des 4 sommets et des 6 arêtes du 3-simplex régulier (tétraèdre).