Le terme arabe « Al-jebr » (réunion de pièces cassées) est célèbre pour être associé à ?
Algèbre
* En tant que mot unique avec article ou au pluriel, « algèbre » désigne une structure mathématique spécifique, dont la définition précise dépend de l'auteur. Habituellement, la structure comporte une addition, une multiplication et une multiplication scalaire (voir Algèbre sur un corps). Lorsque certains auteurs utilisent le terme « algèbre », ils font un sous-ensemble des hypothèses supplémentaires suivantes : associative, commutative, unitaire et/ou de dimension finie. En algèbre universelle, le mot « algèbre » fait référence à une généralisation du concept ci-dessus, qui permet des opérations n-aires. où aucun des domaines de premier niveau (entrées à deux chiffres) n’est appelé algèbre. Aujourd'hui, l'algèbre comprend la section 08-Systèmes algébriques généraux, 12-Théorie des champs et polynômes, 13-Algèbre commutative, 15-Algèbre linéaire et multilinéaire ; théorie des matrices, 16-Anneaux et algèbres associatifs, 17-Anneaux et algèbres non associatifs, 18-Théorie des catégories ; algèbre homologique, théorie 19-K et théorie des 20 groupes. L'algèbre est également largement utilisée dans la théorie des nombres 11 et la géométrie algébrique 14. À l’époque de Platon, les mathématiques grecques avaient subi un changement radical. Les Grecs ont créé une algèbre géométrique dans laquelle les termes étaient représentés par les côtés d'objets géométriques, généralement des lignes, auxquels étaient associées des lettres. "Dans les théorèmes arithmétiques des Éléments VII-IX d'Euclide, les nombres étaient représentés par des segments de ligne auxquels des lettres avaient été attachées, et les preuves géométriques de l'Algèbre d'al-Khwarizmi utilisaient des diagrammes de lettres ; mais tous les coefficients des équations utilisées dans le L'algèbre est constituée de nombres spécifiques, qu'ils soient représentés par des chiffres ou écrits en mots. L'idée de généralité est implicite dans l'exposé d'al-Khwarizmi, mais il n'avait aucun système pour exprimer algébriquement les propositions générales qui sont si facilement disponibles en géométrie. Diophantus (3ème siècle après JC) était un mathématicien grec d'Alexandrie et l'auteur d'une série de livres intitulée Arithmetica. Ces textes traitent de la résolution d'équations algébriques et ont conduit, en théorie des nombres, à la notion moderne d'équation diophantienne. * Algèbre élémentaire, partie de l'algèbre habituellement enseignée dans les cours élémentaires de mathématiques. * Algèbre abstraite, dans laquelle les structures algébriques telles que les groupes, les anneaux et les champs sont définies et étudiées de manière axiomatique. * Algèbre linéaire, dans laquelle sont étudiées les propriétés spécifiques des équations linéaires, des espaces vectoriels et des matrices. * Algèbre commutative, étude des anneaux commutatifs. * Algèbre homologique, étude des structures algébriques fondamentales pour l'étude des espaces topologiques. * Algèbre universelle, dans laquelle sont étudiées les propriétés communes à toutes les structures algébriques. * Algèbre sur un corps ou plus généralement algèbre sur un anneau. De nombreuses classes d'algèbres sur un corps ou sur un anneau ont un nom spécifique : ** Algèbre associative ** Algèbre non associative ** Algèbre de Lie ** Algèbre de Hopf ** Algèbre symétrique ** Algèbre extérieure ** Algèbre tensorielle ** Algèbre sur un ensemble ** Algèbre relationnelle : ensemble de relations finitaires fermées sous certains opérateurs. ** Algèbre booléenne, une structure faisant abstraction du calcul avec les valeurs de vérité faux et vrai. Les structures portent également le même nom. ** Algèbre de Heyting Algèbre élémentaire Algèbre abstraite
L'algèbre (de l'arabe « al-jabr » signifiant « réunion de pièces cassées ») est l'une des grandes parties des mathématiques, avec la théorie des nombres, la géométrie et l'analyse. Dans sa forme la plus générale, l'algèbre est l'étude des symboles mathématiques et des règles de manipulation de ces symboles ; c'est un fil conducteur de presque toutes les mathématiques. En tant que tel, il comprend tout, depuis la résolution d’équations élémentaires jusqu’à l’étude d’abstractions telles que les groupes, les anneaux et les champs. Les parties les plus fondamentales de l'algèbre sont appelées algèbre élémentaire, les parties les plus abstraites sont appelées algèbre abstraite ou algèbre moderne. L'algèbre élémentaire est généralement considérée comme essentielle à toute étude des mathématiques, des sciences ou de l'ingénierie, ainsi que pour des applications telles que la médecine et l'économie. L'algèbre abstraite est un domaine majeur des mathématiques avancées, étudié principalement par des mathématiciens professionnels. De nombreux premiers travaux en algèbre, comme le suggère l'origine arabe de son nom, ont été réalisés au Moyen-Orient, par des mathématiciens persans tels que al-Khwārizmī (780-850) et Omar Khayyam (1048-1131).
L'algèbre élémentaire diffère de l'arithmétique par l'utilisation d'abstractions, comme l'utilisation de lettres pour représenter des nombres inconnus ou autorisés à prendre de nombreuses valeurs. Par exemple, en x + 2
 5 la lettre x est inconnue, mais la loi des inverses peut être utilisée pour découvrir sa valeur : x=3. Dans , les lettres E et m sont des variables, et la lettre c est une constante, la vitesse de la lumière dans le vide. L'algèbre donne des méthodes pour résoudre des équations et exprimer des formules qui sont beaucoup plus faciles (pour ceux qui savent les utiliser) que l'ancienne méthode consistant à tout écrire avec des mots.
Le mot algèbre est également utilisé de certaines manières spécialisées. Un type particulier d'objet mathématique en algèbre abstraite est appelé « algèbre », et le mot est utilisé, par exemple, dans les expressions algèbre linéaire et topologie algébrique.
Un mathématicien qui fait des recherches en algèbre est appelé un algébriste.
Étymologie
Le mot algèbre vient de l'arabe (« restauration ») du titre du livre Ilm al-jabr wa'l-muḳābala d'al-Khwarizmi. Le mot est entré dans la langue anglaise au XVe siècle, à partir de l'espagnol, de l'italien ou du latin médiéval. À l’origine, il faisait référence à la procédure chirurgicale consistant à réparer des os brisés ou luxés. La signification mathématique a été enregistrée pour la première fois au XVIe siècle.
Différentes significations de « algèbre »
Le mot « algèbre » a plusieurs significations liées en mathématiques, en tant que mot unique ou avec des qualificatifs.
* En un seul mot sans article, « algèbre » désigne une large partie des mathématiques.
* En tant que mot unique avec article ou au pluriel, « algèbre » désigne une structure mathématique spécifique, dont la définition précise dépend de l'auteur. Habituellement, la structure comporte une addition, une multiplication et une multiplication scalaire (voir Algèbre sur un corps). Lorsque certains auteurs utilisent le terme « algèbre », ils font un sous-ensemble des hypothèses supplémentaires suivantes : associative, commutative, unitaire et/ou de dimension finie. En algèbre universelle, le mot « algèbre » fait référence à une généralisation du concept ci-dessus, qui permet des opérations n-aires.
* Avec un qualificatif, on retrouve la même distinction :
** Sans article, cela désigne une partie de l'algèbre, comme l'algèbre linéaire, l'algèbre élémentaire (les règles de manipulation des symboles enseignées dans les cours élémentaires de mathématiques dans le cadre de l'enseignement primaire et secondaire), ou l'algèbre abstraite (l'étude des structures algébriques pour eux-mêmes).
** Avec un article, cela signifie une instance d'une structure abstraite, comme une algèbre de Lie, une algèbre associative ou une algèbre d'opérateur de sommet.
** Parfois, les deux sens existent pour le même qualificatif, comme dans la phrase : L'algèbre commutative est l'étude des anneaux commutatifs, qui sont des algèbres commutatives sur les nombres entiers.
L'algèbre comme branche des mathématiques
L'algèbre a commencé avec des calculs similaires à ceux de l'arithmétique, les lettres représentant des nombres. Cela a permis de prouver des propriétés vraies quels que soient les nombres impliqués. Par exemple, dans l'équation quadratique
hache^2+bx+c=0,
a, b, c peuvent être n'importe quel nombre (sauf que a ne peut pas être 0), et la formule quadratique peut être utilisée pour trouver rapidement et facilement la valeur de la quantité inconnue x.
Au fur et à mesure de son développement, l'algèbre s'est étendue à d'autres objets non numériques, tels que les vecteurs, les matrices et les polynômes. Ensuite, les propriétés structurelles de ces objets non numériques ont été abstraites pour définir des structures algébriques telles que des groupes, des anneaux et des champs.
Avant le XVIe siècle, les mathématiques étaient divisées en deux sous-domaines seulement : l’arithmétique et la géométrie. Même si certaines méthodes, développées bien plus tôt, peuvent aujourd’hui être considérées comme de l’algèbre, l’émergence de l’algèbre et, peu après, du calcul infinitésimal en tant que sous-domaines des mathématiques ne date que du XVIe ou du XVIIe siècle. À partir de la seconde moitié du XIXe siècle, de nombreux nouveaux domaines mathématiques sont apparus, dont la plupart faisaient appel à la fois à l'arithmétique et à la géométrie, et presque tous à l'algèbre.
Aujourd'hui, l'algèbre s'est développée jusqu'à inclure de nombreuses branches des mathématiques, comme le montre la classification des matières mathématiques.
où aucun des domaines de premier niveau (entrées à deux chiffres) n’est appelé algèbre. Aujourd'hui, l'algèbre comprend la section 08-Systèmes algébriques généraux, 12-Théorie des champs et polynômes, 13-Algèbre commutative, 15-Algèbre linéaire et multilinéaire ; théorie des matrices, 16-Anneaux et algèbres associatifs, 17-Anneaux et algèbres non associatifs, 18-Théorie des catégories ; algèbre homologique, théorie 19-K et théorie des 20 groupes. L'algèbre est également largement utilisée dans la théorie des nombres 11 et la géométrie algébrique 14.
Histoire
Première histoire de l'algèbre
Les racines de l’algèbre remontent aux anciens Babyloniens, qui ont développé un système arithmétique avancé avec lequel ils étaient capables d’effectuer des calculs de manière algorithmique. Les Babyloniens ont développé des formules pour calculer des solutions aux problèmes généralement résolus aujourd'hui en utilisant des équations linéaires, des équations quadratiques et des équations linéaires indéterminées. En revanche, la plupart des Égyptiens de cette époque, ainsi que les mathématiques grecques et chinoises du 1er millénaire avant JC, résolvaient généralement de telles équations par des méthodes géométriques, telles que celles décrites dans le papyrus mathématique de Rhind, les éléments d'Euclide et les neuf chapitres sur les mathématiques. Art. Le travail géométrique des Grecs, illustré dans les Éléments, a fourni le cadre pour généraliser des formules au-delà de la solution de problèmes particuliers dans des systèmes plus généraux d'énoncé et de résolution d'équations, bien que cela ne soit réalisé que lorsque les mathématiques se sont développées dans l'Islam médiéval.
À l’époque de Platon, les mathématiques grecques avaient subi un changement radical. Les Grecs ont créé une algèbre géométrique dans laquelle les termes étaient représentés par les côtés d'objets géométriques, généralement des lignes, auxquels étaient associées des lettres. "Dans les théorèmes arithmétiques des Éléments VII-IX d'Euclide, les nombres étaient représentés par des segments de ligne auxquels des lettres avaient été attachées, et les preuves géométriques de l'Algèbre d'al-Khwarizmi utilisaient des diagrammes de lettres ; mais tous les coefficients des équations utilisées dans le L'algèbre est constituée de nombres spécifiques, qu'ils soient représentés par des chiffres ou écrits en mots. L'idée de généralité est implicite dans l'exposé d'al-Khwarizmi, mais il n'avait aucun système pour exprimer algébriquement les propositions générales qui sont si facilement disponibles en géométrie. Diophantus (3ème siècle après JC) était un mathématicien grec d'Alexandrie et l'auteur d'une série de livres intitulée Arithmetica. Ces textes traitent de la résolution d'équations algébriques et ont conduit, en théorie des nombres, à la notion moderne d'équation diophantienne.
Les traditions antérieures évoquées ci-dessus ont eu une influence directe sur le persan Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (vers 780-850). Il a ensuite écrit The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, qui a établi l'algèbre comme une discipline mathématique indépendante de la géométrie et de l'arithmétique.
Les mathématiciens hellénistiques Héros d'Alexandrie et Diophante ainsi que les mathématiciens indiens tels que Brahmagupta ont continué les traditions de l'Égypte et de Babylone, bien que l'Arithmétique de Diophante et le Brāhmasphutasiddhānta de Brahmagupta soient à un niveau supérieur. Par exemple, la première solution arithmétique complète (comprenant des solutions nulles et négatives) d'équations quadratiques a été décrite par Brahmagupta dans son livre Brahmasphutasiddhanta. Plus tard, les mathématiciens persans et arabes ont développé des méthodes algébriques à un degré de sophistication beaucoup plus élevé. Bien que Diophante et les Babyloniens utilisaient principalement des méthodes spéciales ad hoc pour résoudre les équations, la contribution d'Al-Khwarizmi fut fondamentale. Il résolvait des équations linéaires et quadratiques sans symbolisme algébrique, ni nombres négatifs ni zéros, il devait donc distinguer plusieurs types d'équations.
Dans le contexte où l'algèbre est identifiée à la théorie des équations, le mathématicien grec Diophantus est traditionnellement connu comme le « père de l'algèbre », mais plus récemment, de nombreux débats ont eu lieu sur la question de savoir si al-Khwarizmi, qui a fondé la discipline de l'algèbre, jabr, mérite plutôt ce titre. Ceux qui soutiennent Diophante soulignent le fait que l'algèbre trouvée dans Al-Jabr est légèrement plus élémentaire que l'algèbre trouvée dans l'Arithmétique et que l'Arithmétique est syncopée tandis qu'Al-Jabr est entièrement rhétorique. Ceux qui soutiennent Al-Khwarizmi soulignent le fait qu'il a introduit les méthodes de « réduction » et d'« équilibrage » (la transposition de termes soustraits de l'autre côté d'une équation, c'est-à-dire l'annulation de termes similaires des côtés opposés de l'équation). équation) auquel le terme al-jabr faisait initialement référence : « On ne sait pas exactement ce que signifient les termes al-jabr et muqabalah, mais l'interprétation habituelle est similaire à celle impliquée dans la traduction ci-dessus. Le mot al-jabr signifiait probablement quelque chose comme « restauration » ou « achèvement » et semble faire référence à la transposition de termes soustraits de l'autre côté d'une équation ; le mot muqabalah ferait référence à « réduction » ou « équilibrage » – c'est-à-dire l'annulation de termes similaires. des côtés opposés de l’équation. et qu'il a donné une explication exhaustive de la résolution d'équations quadratiques, appuyée par des preuves géométriques, tout en traitant l'algèbre comme une discipline indépendante à part entière. Son algèbre ne s'intéresse plus non plus « à une série de problèmes à résoudre, mais à un exposé qui part de termes primitifs dont les combinaisons doivent donner tous les prototypes possibles d'équations, qui constituent désormais explicitement le véritable objet d'étude ». Il étudie également une équation pour elle-même et « de manière générique, dans la mesure où elle n'apparaît pas simplement au cours de la résolution d'un problème, mais est spécifiquement appelée à définir une classe infinie de problèmes ».
Un autre mathématicien persan, Omar Khayyam, est reconnu pour avoir identifié les fondements de la géométrie algébrique et trouvé la solution géométrique générale de l'équation cubique. Un autre mathématicien persan, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, a trouvé des solutions algébriques et numériques à divers cas d'équations cubiques. Il a également développé le concept de fonction. Les mathématiciens indiens Mahavira et Bhaskara II, le mathématicien persan Al-Karaji, "Abu'l Wefa était un algébriste compétent ainsi qu'un trigonomètre. ... Son successeur al-Karkhi a évidemment utilisé cette traduction pour devenir un disciple arabe de Diophante - mais sans analyse diophantienne ! ... En particulier, à al-Karkhi est attribuée la première solution numérique d'équations de la forme ax2n + bxn
 c (seules les équations avec des racines positives ont été prises en compte)", et le mathématicien chinois Zhu Shijie, a résolu divers cas d'équations polynomiales cubiques, quartiques, quintiques et d'ordre supérieur en utilisant des méthodes numériques. Au XIIIe siècle, la solution d'une équation cubique par Fibonacci est représentatif du début d'un renouveau de l'algèbre européenne. Alors que le monde islamique était en déclin, le monde européen était en ascension. Et c'est ici que l'algèbre s'est développée davantage.
Histoire de l'algèbre
Les travaux de François Viète sur la nouvelle algèbre à la fin du XVIe siècle constituent une étape importante vers l'algèbre moderne. En 1637, René Descartes publie La Géométrie, inventant la géométrie analytique et introduisant la notation algébrique moderne. Un autre événement clé dans le développement ultérieur de l'algèbre fut la solution algébrique générale des équations cubiques et quartiques, développée au milieu du XVIe siècle. L'idée d'un déterminant a été développée par le mathématicien japonais Seki Kōwa au XVIIe siècle, suivi indépendamment par Gottfried Leibniz dix ans plus tard, dans le but de résoudre des systèmes d'équations linéaires simultanées à l'aide de matrices. Gabriel Cramer a également réalisé des travaux sur les matrices et les déterminants au XVIIIe siècle. Les permutations ont été étudiées par Joseph-Louis Lagrange dans son article de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations consacré aux solutions d'équations algébriques, dans lequel il a introduit les résolvantes de Lagrange. Paolo Ruffini a été le premier à développer la théorie des groupes de permutation, et comme ses prédécesseurs, également dans le contexte de la résolution d'équations algébriques.
L'algèbre abstraite s'est développée au XIXe siècle, en raison de l'intérêt porté à la résolution d'équations, en se concentrant initialement sur ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie de Galois et sur les questions de constructibilité. George Peacock est le fondateur de la pensée axiomatique en arithmétique et en algèbre. Augustus De Morgan a découvert l'algèbre des relations dans son Syllabus d'un système de logique proposé. Josiah Willard Gibbs a développé une algèbre de vecteurs dans un espace tridimensionnel, et Arthur Cayley a développé une algèbre de matrices (il s'agit d'une algèbre non commutative).
Domaines mathématiques avec le mot algèbre dans leur nom
Certains domaines des mathématiques qui relèvent de la classification algèbre abstraite portent le mot algèbre dans leur nom ; l'algèbre linéaire en est un exemple. D’autres ne le font pas : la théorie des groupes, la théorie des anneaux et la théorie des champs en sont des exemples. Dans cette section, nous énumérons certains domaines des mathématiques dont le nom contient le mot « algèbre ».
* Algèbre élémentaire, partie de l'algèbre habituellement enseignée dans les cours élémentaires de mathématiques.
* Algèbre abstraite, dans laquelle les structures algébriques telles que les groupes, les anneaux et les champs sont définies et étudiées de manière axiomatique.
* Algèbre linéaire, dans laquelle sont étudiées les propriétés spécifiques des équations linéaires, des espaces vectoriels et des matrices.
* Algèbre commutative, étude des anneaux commutatifs.
* Calcul formel, mise en œuvre de méthodes algébriques sous forme d'algorithmes et de programmes informatiques.
* Algèbre homologique, étude des structures algébriques fondamentales pour l'étude des espaces topologiques.
* Algèbre universelle, dans laquelle sont étudiées les propriétés communes à toutes les structures algébriques.
* Théorie algébrique des nombres, dans laquelle les propriétés des nombres sont étudiées d'un point de vue algébrique.
* Géométrie algébrique, branche de la géométrie, dans sa forme primitive spécifiant les courbes et les surfaces comme solutions d'équations polynomiales.
* Combinatoire algébrique, dans laquelle des méthodes algébriques sont utilisées pour étudier des questions combinatoires.
De nombreuses structures mathématiques sont appelées algèbres :
* Algèbre sur un corps ou plus généralement algèbre sur un anneau. De nombreuses classes d'algèbres sur un corps ou sur un anneau ont un nom spécifique :
** Algèbre associative
** Algèbre non associative
** Algèbre de Lie
** Algèbre de Hopf
** C*-algèbre
** Algèbre symétrique
** Algèbre extérieure
** Algèbre tensorielle
* En théorie de la mesure,
** Sigma-algèbre
** Algèbre sur un ensemble
* En théorie des catégories
** F-algèbre et F-coalgèbre
** T-algèbre
* En logique,
** Algèbre relationnelle : ensemble de relations finitaires fermées sous certains opérateurs.
** Algèbre booléenne, une structure faisant abstraction du calcul avec les valeurs de vérité faux et vrai. Les structures portent également le même nom.
** Algèbre de Heyting
Algèbre élémentaire
L'algèbre élémentaire est la forme la plus fondamentale de l'algèbre. Il est enseigné à des étudiants présumés n’avoir aucune connaissance des mathématiques au-delà des principes de base de l’arithmétique. En arithmétique, seuls les nombres et leurs opérations arithmétiques (telles que +, −, ×, ÷) apparaissent. En algèbre, les nombres sont souvent représentés par des symboles appelés variables (tels que a, n, x, y ou z). Ceci est utile car :
* Il permet la formulation générale de lois arithmétiques (telles que a + b = b + a pour tous a et b), et constitue donc la première étape vers une exploration systématique des propriétés du système de nombres réels.
* Il permet la référence à des nombres "inconnus", la formulation d'équations et l'étude de la manière de les résoudre. (Par exemple, "Trouver un nombre x tel que 3x + 1 10" ou en allant un peu plus loin "Trouver un nombre x tel que ax + b
 c". Cette étape amène à conclure que ce n'est pas la nature des nombres spécifiques qui permet de le résoudre, mais celle des opérations impliquées.)
* Il permet la formulation de relations fonctionnelles. (Par exemple, "Si vous vendez x billets, alors votre bénéfice sera de 3x − 10 dollars, ou f(x) = 3x − 10, où f est la fonction et x est le nombre auquel la fonction est appliquée". )
Polynômes
Un polynôme est une expression qui est la somme d'un nombre fini de termes non nuls, chaque terme étant constitué du produit d'une constante et d'un nombre fini de variables élevées à des puissances entières. Par exemple, x2 + 2x − 3 est un polynôme dans la variable unique x. Une expression polynomiale est une expression qui peut être réécrite sous forme de polynôme, en utilisant la commutativité, l'associativité et la distributivité de l'addition et de la multiplication. Par exemple, (x − 1)(x + 3) est une expression polynomiale, qui, à proprement parler, n’est pas un polynôme. Une fonction polynomiale est une fonction définie par un polynôme ou, de manière équivalente, par une expression polynomiale. Les deux exemples précédents définissent la même fonction polynomiale.
Deux problèmes importants et liés en algèbre sont la factorisation des polynômes, c'est-à-dire l'expression d'un polynôme donné comme un produit d'autres polynômes qui ne peuvent plus être factorisés, et le calcul des plus grands diviseurs communs des polynômes. L'exemple de polynôme ci-dessus peut être factorisé comme (x − 1)(x + 3). Une classe de problèmes connexe consiste à trouver des expressions algébriques pour les racines d’un polynôme dans une seule variable.
Éducation
Il a été suggéré que l'algèbre élémentaire devrait être enseignée à des élèves dès l'âge de onze ans, bien que ces dernières années, il soit plus courant que les cours publics commencent au niveau de la huitième année (≈ 13 ans ±) aux États-Unis.
Depuis 1997, Virginia Tech et d'autres universités ont commencé à utiliser un modèle personnalisé d'enseignement de l'algèbre qui combine un retour instantané d'un logiciel informatique spécialisé avec un tutorat individuel et en petits groupes, ce qui a permis de réduire les coûts et d'améliorer les résultats des étudiants.
Algèbre abstraite
L'algèbre abstraite étend les concepts familiers de l'algèbre élémentaire et de l'arithmétique des nombres à des concepts plus généraux. Voici une liste des concepts fondamentaux de l'algèbre abstraite.
Ensembles : Plutôt que de simplement considérer les différents types de nombres, l'algèbre abstraite traite du concept plus général d'ensembles : une collection de tous les objets (appelés éléments) sélectionnés par propriété spécifique à l'ensemble. Toutes les collections de types de nombres familiers sont des ensembles. D'autres exemples d'ensembles incluent l'ensemble de toutes les matrices deux par deux, l'ensemble de tous les polynômes du deuxième degré (ax2 + bx + c), l'ensemble de tous les vecteurs bidimensionnels dans le plan et les divers groupes finis tels que les groupes cycliques, qui sont les groupes d'entiers modulo n. La théorie des ensembles est une branche de la logique et non techniquement une branche de l'algèbre.
Opérations binaires : La notion d'addition (+) est abstraite pour donner une opération binaire, disons ∗. La notion d'opération binaire n'a aucun sens sans l'ensemble sur lequel l'opération est définie. Pour deux éléments a et b dans un ensemble S, a ∗ b est un autre élément de l'ensemble ; cette condition est appelée fermeture. L'addition (+), la soustraction (−), la multiplication (×) et la division (÷) peuvent être des opérations binaires lorsqu'elles sont définies sur différents ensembles, tout comme l'addition et la multiplication de matrices, de vecteurs et de polynômes.
Éléments d'identité : Les nombres zéro et un sont abstraits pour donner la notion d'élément d'identité pour une opération. Zéro est l’élément d’identité pour l’addition et un est l’élément d’identité pour la multiplication. Pour un opérateur binaire général ∗ l'élément d'identité e doit satisfaire a ∗ e a et e ∗ a
a, et est nécessairement unique, s'il existe. Cela vaut pour l'addition comme a + 0 a et 0 + a
 a et multiplication a × 1 a et 1 × a
 un. Tous les ensembles et combinaisons d'opérateurs n'ont pas d'élément d'identité ; par exemple, l'ensemble des nombres naturels positifs (1, 2, 3, ...) n'a aucun élément d'identité à ajouter.
Éléments inverses : Les nombres négatifs donnent naissance à la notion d'éléments inverses. Pour l’addition, l’inverse de a s’écrit −a, et pour la multiplication l’inverse s’écrit a−1. Un élément inverse général bilatéral a−1 satisfait la propriété que a ∗ a−1 e et a−1 ∗ a
 e, où e est l'élément d'identité.
Associativité : L'addition d'entiers a une propriété appelée associativité. Autrement dit, le regroupement des nombres à additionner n’affecte pas la somme. Par exemple: . En général, cela devient (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Cette propriété est partagée par la plupart des opérations binaires, mais pas par la soustraction, la division ou la multiplication d'octonions.
Commutativité : L'addition et la multiplication de nombres réels sont toutes deux commutatives. Autrement dit, l’ordre des nombres n’affecte pas le résultat. Par exemple : 2 + 3 3 + 2. En général, cela devient a ∗ b
 b∗une. Cette propriété ne s'applique pas à toutes les opérations binaires. Par exemple, la multiplication matricielle et la multiplication par quaternions sont toutes deux non commutatives.
Groupes
La combinaison des concepts ci-dessus donne l’une des structures les plus importantes en mathématiques : un groupe. Un groupe est une combinaison d'un ensemble S et d'une seule opération binaire ∗, définie de la manière que vous choisissez, mais avec les propriétés suivantes :
* Un élément d'identité e existe, tel que pour chaque membre a de S, e ∗ a et a ∗ e sont tous deux identiques à a.
* Chaque élément a un inverse : pour chaque membre a de S, il existe un membre a−1 tel que a ∗ a−1 et a−1 ∗ a sont tous deux identiques à l'élément d'identité.
* L'opération est associative : si a, b et c sont membres de S, alors (a ∗ b) ∗ c est identique à a ∗ (b ∗ c).
Si un groupe est également commutatif, c'est-à-dire que pour deux membres a et b de S, a ∗ b est identique à b ∗ a, alors le groupe est dit abélien.
Par exemple, l’ensemble des entiers soumis à l’opération d’addition est un groupe. Dans ce groupe, l'élément d'identité est 0 et l'inverse de tout élément a est sa négation, −a. L'exigence d'associativité est remplie, car pour tout entier a, b et c, (a + b) + c = a + (b + c)
Les nombres rationnels non nuls forment un groupe sous multiplication. Ici, l'élément d'identité est 1, puisque 1 × a a × 1
 a pour tout nombre rationnel a. L'inverse de a est 1/a, puisque a × 1/a = 1.
Cependant, les nombres entiers soumis à l’opération de multiplication ne forment pas un groupe. En effet, en général, l’inverse multiplicatif d’un entier n’est pas un entier. Par exemple, 4 est un entier, mais son inverse multiplicatif est ¼, ce qui n’est pas un entier.
La théorie des groupes est étudiée en théorie des groupes. Un résultat majeur de cette théorie est la classification des groupes finis simples, publiée pour la plupart entre 1955 et 1983 environ, qui sépare les groupes finis simples en environ 30 types de base.
Les semi-groupes, les quasi-groupes et les monoïdes sont des structures similaires aux groupes, mais plus générales. Ils comprennent un ensemble et une opération binaire fermée, mais ne satisfont pas nécessairement aux autres conditions. Un semi-groupe a une opération binaire associative, mais peut ne pas avoir d'élément d'identité. Un monoïde est un semi-groupe qui a une identité mais peut ne pas avoir d'inverse pour chaque élément. Un quasi-groupe satisfait à l'exigence selon laquelle n'importe quel élément peut être transformé en n'importe quel autre par une multiplication unique à gauche ou à droite ; cependant, l'opération binaire peut ne pas être associative.
Tous les groupes sont des monoïdes et tous les monoïdes sont des semi-groupes.
Anneaux et champs
Les groupes n'ont qu'une seule opération binaire. Pour expliquer pleinement le comportement des différents types de nombres, il faut étudier les structures à deux opérateurs. Les plus importants d'entre eux sont les anneaux et les champs.
Un anneau a deux opérations binaires (+) et (×), avec × distributif sur +. Sous le premier opérateur (+), il forme un groupe abélien. Sous le deuxième opérateur (×), il est associatif, mais il n'a pas besoin d'avoir d'identité, ni d'inverse, donc la division n'est pas requise. L'élément d'identité additif (+) s'écrit 0 et l'inverse additif de a s'écrit −a.
La distributivité généralise la loi distributive des nombres. Pour les entiers et et × est dit distributif sur +.
Les nombres entiers sont un exemple d'anneau. Les entiers ont des propriétés supplémentaires qui en font un domaine intégral.
Un champ est un anneau avec la propriété supplémentaire que tous les éléments sauf 0 forment un groupe abélien sous ×. L'identité multiplicative (×) s'écrit 1 et l'inverse multiplicatif de a s'écrit a−1.
Les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes sont tous des exemples de corps.