Combien de faces possède un icosaèdre ?
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En géométrie, un icosaèdre (ou) est un polyèdre à 20 faces. Le nom vient. Le pluriel peut être soit « icosaèdres », soit « icosaèdres ». Il existe deux objets, un convexe et un concave, qui peuvent tous deux être appelés icosaèdres réguliers. Chacun a 30 arêtes et 20 faces triangulaires équilatérales, cinq se rencontrant à chacun de ses douze sommets. Les deux ont une symétrie icosaédrique. Le terme « icosaèdre régulier » fait généralement référence à la variété convexe, tandis que la forme non convexe est appelée grand icosaèdre. L'icosaèdre régulier convexe est généralement appelé simplement icosaèdre régulier, l'un des cinq solides platoniciens réguliers, et est représenté par son symbole Schläfli {3, 5}, contenant 20 faces triangulaires, avec 5 faces se rencontrant autour de chaque sommet. Le grand icosaèdre est l'un des quatre polyèdres de Kepler-Poinsot à étoiles régulières. Son symbole Schläfli est {3, }. Comme la forme convexe, il possède également 20 faces triangulaires équilatérales, mais sa figure de sommet est un pentagramme plutôt qu'un pentagone, conduisant à des faces géométriquement sécantes. Les intersections des triangles ne représentent pas de nouvelles arêtes. Parmi eux, beaucoup ont une seule face dans chacun des 20 plans de face, tout comme les icosaèdres. Le grand icosaèdre en fait partie. La symétrie pyritoédrique a le symbole (3*2), [3+,4], d'ordre 24. La symétrie tétraédrique a le symbole (332), [3,3]+, d'ordre 12. Ces symétries inférieures permettent des distorsions géométriques de 20 faces triangulaires équilatérales, ayant à la place 8 triangles équilatéraux et 12 triangles isocèles congrus. Ces symétries offrent des diagrammes de Coxeter : et respectivement, chacun représentant la symétrie inférieure à l'icosaèdre régulier, (*532), [5,3] symétrie icosaédrique d'ordre 120. L'icosaèdre rhombique est un zonoèdre composé de 20 losanges congrus. Il peut être dérivé du triacontaèdre rhombique en supprimant 10 faces médianes. Même si toutes les faces sont congruentes, l’icosaèdre rhombique n’est pas transitif face. *Pyramide à 19 côtés (plus 1 base = 20). *Prisme à 18 côtés (plus 2 extrémités = 20). *Antiprisme 9 faces (2 jeux de 9 faces + 2 extrémités = 20). *Bipyramide à 10 côtés (2 séries de 10 côtés = 20). *Trapézoèdre à 10 côtés (2 séries de 10 côtés = 20).
En géométrie, un icosaèdre (ou) est un polyèdre à 20 faces. Le nom vient. Le pluriel peut être soit « icosaèdres », soit « icosaèdres ».

Il existe de nombreux types d’icosaèdres, certains étant plus symétriques que d’autres. Le plus connu est l’icosaèdre régulier platonicien et convexe.

Icosaèdres réguliers

Il existe deux objets, un convexe et un concave, qui peuvent tous deux être appelés icosaèdres réguliers. Chacun a 30 arêtes et 20 faces triangulaires équilatérales, cinq se rencontrant à chacun de ses douze sommets. Les deux ont une symétrie icosaédrique. Le terme « icosaèdre régulier » fait généralement référence à la variété convexe, tandis que la forme non convexe est appelée grand icosaèdre.

Icosaèdre régulier convexe

L'icosaèdre régulier convexe est généralement appelé simplement icosaèdre régulier, l'un des cinq solides platoniciens réguliers, et est représenté par son symbole Schläfli {3, 5}, contenant 20 faces triangulaires, avec 5 faces se rencontrant autour de chaque sommet.

Son double polyèdre est le dodécaèdre régulier {5, 3} ayant trois faces pentagonales régulières autour de chaque sommet.

Grand icosaèdre

Le grand icosaèdre est l'un des quatre polyèdres de Kepler-Poinsot à étoiles régulières. Son symbole Schläfli est {3, }. Comme la forme convexe, il possède également 20 faces triangulaires équilatérales, mais sa figure de sommet est un pentagramme plutôt qu'un pentagone, conduisant à des faces géométriquement sécantes. Les intersections des triangles ne représentent pas de nouvelles arêtes.

Son double polyèdre est le grand dodécaèdre étoilé (, 3), ayant trois faces pentagonales en étoile régulières autour de chaque sommet.

Icosaèdres étoilés

La stellation est le processus d'extension des faces ou des bords d'un polyèdre jusqu'à ce qu'ils se rencontrent pour former un nouveau polyèdre. Cela se fait symétriquement afin que la figure résultante conserve la symétrie globale de la figure parent.

Dans leur livre The Fifty-Nine Icosahedra, Coxeter et al. a énuméré 58 de ces stellations de l'icosaèdre régulier.

Parmi eux, beaucoup ont une seule face dans chacun des 20 plans de face, tout comme les icosaèdres. Le grand icosaèdre en fait partie.

D'autres stellations ont plus d'une face dans chaque plan ou forment des composés de polyèdres plus simples. Ce ne sont pas strictement des icosaèdres, bien qu’ils soient souvent désignés comme tels.

Symétrie pyritoédrique

Un icosaèdre régulier peut être construit avec une symétrie pyritoédrique et est appelé octaèdre adouci ou tétratétraèdre adouci ou tétraèdre adouci. cela peut être vu comme un octaèdre tronqué alterné. Si tous les triangles sont équilatéraux, la symétrie peut également être distinguée en colorant différemment les ensembles de triangles 8 et 12.

La symétrie pyritoédrique a le symbole (3*2), [3+,4], d'ordre 24. La symétrie tétraédrique a le symbole (332), [3,3]+, d'ordre 12. Ces symétries inférieures permettent des distorsions géométriques de 20 faces triangulaires équilatérales, ayant à la place 8 triangles équilatéraux et 12 triangles isocèles congrus.

Ces symétries offrent des diagrammes de Coxeter : et respectivement, chacun représentant la symétrie inférieure à l'icosaèdre régulier, (*532), [5,3] symétrie icosaédrique d'ordre 120.

Coordonnées cartésiennes

Les coordonnées des 12 sommets peuvent être définies par les vecteurs définis par toutes les permutations cycliques et retournements de signes possibles de coordonnées de la forme (2, 1, 0). Ces coordonnées représentent l'octaèdre tronqué avec les sommets alternés supprimés.

Cette construction est appelée tétraèdre retroussé sous sa forme régulière d'icosaèdre, généré par les mêmes opérations effectuées à partir du vecteur (ϕ, 1, 0), où ϕ est le nombre d'or.

Icosaèdre de Jessen

Dans l'icosaèdre de Jessen, parfois appelé icosaèdre orthogonal de Jessen, les 12 faces isocèles sont disposées différemment de telle sorte que la figure soit non convexe. Il a des angles dièdres droits.

Il s'agit de ciseaux congrus à un cube, ce qui signifie qu'ils peuvent être découpés en morceaux polyédriques plus petits qui peuvent être réarrangés pour former un cube solide.

Autres icosaèdres

Icosaèdre rhombique

L'icosaèdre rhombique est un zonoèdre composé de 20 losanges congrus. Il peut être dérivé du triacontaèdre rhombique en supprimant 10 faces médianes. Même si toutes les faces sont congruentes, l’icosaèdre rhombique n’est pas transitif face.

Symétries des pyramides et des prismes

Les icosaèdres courants avec des symétries pyramidales et prismatiques comprennent :
*Pyramide à 19 côtés (plus 1 base = 20).
*Prisme à 18 côtés (plus 2 extrémités = 20).
*Antiprisme 9 faces (2 jeux de 9 faces + 2 extrémités = 20).
*Bipyramide à 10 côtés (2 séries de 10 côtés = 20).
*Trapézoèdre à 10 côtés (2 séries de 10 côtés = 20).

Solides Johnson

Plusieurs solides de Johnson sont des icosaèdres :