Combien y a-t-il d’arêtes sur un tétraèdre ?
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où V est le nombre de sommets, E est le nombre d’arêtes et F est le nombre de faces. Cette équation est connue sous le nom de formule du polyèdre d’Euler. Ainsi, le nombre d’arêtes est inférieur de 2 à la somme des nombres de sommets et de faces. Par exemple, un cube a 8 sommets et 6 faces, donc 12 arêtes.
Pour les bords de la théorie des graphes, voir Edge (théorie des graphes)
En géométrie, une arête est un type particulier de segment de ligne joignant deux sommets dans un polygone, un polyèdre ou un polytope de dimension supérieure. Dans un polygone, une arête est un segment de ligne sur la frontière et est souvent appelée côté. Dans un polyèdre ou plus généralement un polytope, une arête est un segment de droite où se rencontrent deux faces. Un segment joignant deux sommets en passant par l’intérieur ou l’extérieur n’est pas une arête mais plutôt une diagonale.

Relation avec les arêtes dans les graphiques

Dans la théorie des graphes, une arête est un objet abstrait reliant deux sommets du graphique, contrairement aux arêtes de polygone et de polyèdre qui ont une représentation géométrique concrète sous forme de segment de ligne.
Cependant, tout polyèdre peut être représenté par son squelette ou arête-squelette, un graphe dont les sommets sont les sommets géométriques du polyèdre et dont les arêtes correspondent aux arêtes géométriques. À l'inverse, les graphes qui sont des squelettes de polyèdres tridimensionnels peuvent être caractérisés par le théorème de Steinitz comme étant exactement les graphes planaires connectés à 3 sommets.

Nombre d'arêtes dans un polyèdre

La surface de tout polyèdre convexe a la caractéristique d'Euler

V - E + F = 2,

où V est le nombre de sommets, E est le nombre d’arêtes et F est le nombre de faces. Cette équation est connue sous le nom de formule du polyèdre d’Euler. Ainsi, le nombre d’arêtes est inférieur de 2 à la somme des nombres de sommets et de faces. Par exemple, un cube a 8 sommets et 6 faces, donc 12 arêtes.

Incidences avec d'autres visages

Dans un polygone, deux arêtes se rencontrent à chaque sommet ; plus généralement, d'après le théorème de Balinski, au moins d arêtes se rencontrent à chaque sommet d'un polytope convexe de dimension d.
De même, dans un polyèdre, exactement deux faces bidimensionnelles se rencontrent à chaque arête, tandis que dans les polytopes de dimension supérieure, trois faces bidimensionnelles ou plus se rencontrent à chaque arête.

Terminologie alternative

Dans la théorie des polytopes convexes de grande dimension, une facette ou un côté d'un polytope de dimension d est l'une de ses caractéristiques de dimension (d − 1), une crête est une caractéristique de dimension (d − 2) et un pic est une caractéristique (d − 3)-dimensionnelle. Ainsi, les arêtes d'un polygone sont ses facettes, les arêtes d'un polyèdre convexe tridimensionnel sont ses crêtes et les arêtes d'un polytope tridimensionnel sont ses sommets.