Quel est le nombre premier le plus élevé au-dessus de 53 ?
59
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 9, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 9, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 1, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 1, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 3, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997. Au début du XIXe siècle, Legendre et Gauss ont conjecturé indépendamment que lorsque x tend vers l'infini, le nombre de nombres premiers jusqu'à x est asymptotique à x/ln(x), où ln(x) est le logarithme népérien de x. Les idées de Riemann dans son article de 1859 sur la fonction zêta ébauchaient un programme qui conduirait à une preuve du théorème des nombres premiers. Ce schéma a été complété par Hadamard et de la Vallée Poussin, qui ont prouvé indépendamment le théorème des nombres premiers en 1896. L'hypothèse de Riemann non prouvée, datant de 1859, stipule qu'à l'exception de tous les zéros de la fonction ζ, sa partie réelle est égale à 1/2. Le lien avec les nombres premiers est qu'il dit essentiellement que les nombres premiers sont distribués aussi régulièrement que possible. D'un point de vue physique, il indique grossièrement que l'irrégularité dans la distribution des nombres premiers provient uniquement d'un bruit aléatoire. D'un point de vue mathématique, il indique grossièrement que la distribution asymptotique des nombres premiers (environ x/log x des nombres inférieurs à x sont premiers, le théorème des nombres premiers) est également valable pour des intervalles de longueur beaucoup plus courts autour de la racine carrée de x (pour les intervalles près de x). Cette hypothèse est généralement considérée comme correcte. En particulier, l’hypothèse la plus simple est que les nombres premiers ne devraient présenter aucune irrégularité significative sans raison valable.
Un nombre premier (ou premier) est un nombre naturel supérieur à 1 qui n'a pas de diviseur positif autre que 1 et lui-même. Un nombre naturel supérieur à 1 qui n’est pas un nombre premier est appelé nombre composé. Par exemple, 5 est premier car 1 et 5 sont ses seuls facteurs entiers positifs, tandis que 6 est composite car il possède les diviseurs 2 et 3 en plus de 1 et 6. Le théorème fondamental de l'arithmétique établit le rôle central des nombres premiers dans la théorie des nombres. : tout entier supérieur à 1 peut être exprimé comme un produit de nombres premiers unique jusqu'à l'ordre. Le caractère unique de ce théorème nécessite d'exclure 1 comme nombre premier car on peut inclure arbitrairement de nombreuses instances de 1 dans n'importe quelle factorisation, par exemple, 3, 1 · 3, 1 · 1 · 3, etc. sont toutes des factorisations valides de 3.
La propriété d’être premier (ou non) est appelée primalité. Une méthode simple mais lente pour vérifier la primalité d'un nombre n donné est connue sous le nom de division par essai. Cela consiste à tester si n est un multiple d’un entier compris entre 2 et \sqrt{n}. Des algorithmes bien plus efficaces que la division par essai ont été imaginés pour tester la primalité de grands nombres. Il s'agit notamment du test de primalité de Miller-Rabin, qui est rapide mais a une faible probabilité d'erreur, et du test de primalité AKS, qui produit toujours la réponse correcte en temps polynomial mais est trop lent pour être pratique. Des méthodes particulièrement rapides sont disponibles pour les nombres de formes spéciales, tels que les nombres de Mersenne. , le plus grand nombre premier connu comporte 22 338 618 chiffres décimaux.
Il existe une infinité de nombres premiers, comme le démontra Euclide vers 300 avant JC. Il n’existe pas de formule simple connue permettant de séparer les nombres premiers des nombres composés. Cependant, la distribution des nombres premiers, c'est-à-dire le comportement statistique des nombres premiers dans l'ensemble, peut être modélisée. Le premier résultat dans cette direction est le théorème des nombres premiers, prouvé à la fin du XIXe siècle, selon lequel la probabilité qu'un nombre donné choisi au hasard soit premier est inversement proportionnelle à son nombre de chiffres, ou au logarithme de n. .
De nombreuses questions concernant les nombres premiers restent ouvertes, comme la conjecture de Goldbach (selon laquelle tout entier pair supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers) et la conjecture des jumeaux premiers (qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers dont la différence est 2). . Ces questions ont stimulé le développement de diverses branches de la théorie des nombres, se concentrant sur les aspects analytiques ou algébriques des nombres. Les nombres premiers sont utilisés dans plusieurs routines des technologies de l'information, telles que la cryptographie à clé publique, qui utilise des propriétés telles que la difficulté de prendre en compte de grands nombres dans leurs facteurs premiers. Les nombres premiers donnent lieu à diverses généralisations dans d'autres domaines mathématiques, principalement l'algèbre, comme les éléments premiers et les idéaux premiers.
Définition et exemples
Un nombre naturel (c'est-à-dire 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) est appelé nombre premier (ou premier) s'il a exactement deux diviseurs positifs, 1 et le nombre lui-même. Les nombres naturels supérieurs à 1 qui ne sont pas premiers sont appelés composés.
Parmi les nombres 1 à 6, les nombres 2, 3 et 5 sont premiers, tandis que 1, 4 et 6 ne sont pas premiers. 1 est exclu en tant que nombre premier, pour les raisons expliquées ci-dessous. 2 est un nombre premier, puisque les seuls nombres naturels qui le divisent sont 1 et 2. Ensuite, 3 est également premier : 1 et 3 divisent 3 sans reste, mais 3 divisé par 2 donne le reste 1. Ainsi, 3 est premier. Or, 4 est composé, puisque 2 est un autre nombre (en plus de 1 et 4) divisant 4 sans reste :
4 = 2 · 2.
5 est encore premier : aucun des nombres 2, 3 ou 4 ne divise 5. Ensuite, 6 est divisible par 2 ou 3, puisque
6 = 2 · 3.
Donc 6 n’est pas premier. L'image de droite illustre que 12 n'est pas premier : . Aucun nombre pair supérieur à 2 n'est premier car, par définition, tout nombre pair a au moins trois diviseurs distincts, à savoir 1, 2 et . Cela implique que ce n'est pas premier. En conséquence, le terme nombre premier impair fait référence à tout nombre premier supérieur à 2. De même, lorsqu'ils sont écrits dans le système décimal habituel, tous les nombres premiers supérieurs à 5 se terminent par 1, 3, 7 ou 9, puisque les nombres pairs sont des multiples de 2 et les nombres se terminant par 0 ou 5 sont des multiples de 5.
Si est un nombre naturel, alors 1 et divisez sans reste. Par conséquent, la condition d'être premier peut également être reformulée comme suit : un nombre est premier s'il est supérieur à un et si aucun des nombres
divise (sans reste). Une autre façon de dire la même chose est : un nombre est premier s'il ne peut pas être écrit comme le produit de deux entiers et , tous deux supérieurs à 1 :
.
En d’autres termes, est premier si les éléments ne peuvent pas être divisés en groupes plus petits de taille égale de plus d’un élément.
L'ensemble de tous les nombres premiers est souvent noté .
Les 168 premiers nombres premiers (tous les nombres premiers inférieurs à 1000) sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 9, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 9, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 1, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 1, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 3, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.
Théorème fondamental de l'arithmétique
L'importance cruciale des nombres premiers pour la théorie des nombres et les mathématiques en général découle du théorème fondamental de l'arithmétique, qui stipule que tout entier supérieur à 1 peut être écrit comme un produit d'un ou plusieurs nombres premiers d'une manière unique, à l'exception de l'ordre. des facteurs premiers. Les nombres premiers peuvent ainsi être considérés comme les « éléments de base » des nombres naturels. Par exemple:
Comme dans cet exemple, le même facteur premier peut apparaître plusieurs fois. Une décomposition :
d'un nombre en (un nombre fini) facteurs premiers , , ... to est appelé factorisation première de . Le théorème fondamental de l’arithmétique peut être reformulé de manière à dire que toute factorisation en nombres premiers sera identique à l’exception de l’ordre des facteurs. Ainsi, bien qu’il existe de nombreux algorithmes de factorisation première permettant de réaliser cela en pratique pour des nombres plus grands, ils doivent tous produire le même résultat.
Si est un nombre premier et divise un produit d'entiers, alors divise ou divise . Cette proposition est connue sous le nom de lemme d’Euclide. Il est utilisé dans certaines preuves du caractère unique des factorisations premières.
Primalité d'un
La plupart des premiers Grecs ne considéraient même pas 1 comme un nombre, ils ne pouvaient donc pas le considérer comme un nombre premier. Au Moyen Âge et à la Renaissance, de nombreux mathématiciens incluaient 1 comme premier nombre premier.[https://primes.utm.edu/notes/faq/one.html Pourquoi le nombre un n'est-il pas premier ? (extrait de la liste des questions fréquemment posées de Prime Pages) par Chris K. Caldwell.] Au milieu du XVIIIe siècle, Christian Goldbach a répertorié 1 comme premier premier dans sa célèbre correspondance avec Leonhard Euler ; cependant, Euler lui-même ne considérait pas 1 comme un nombre premier. Au XIXe siècle, de nombreux mathématiciens considéraient encore le nombre 1 comme un nombre premier. Par exemple, la liste des nombres premiers jusqu'à 10 006 721 de Derrick Norman Lehmer, réimprimée jusqu'en 1956, commençait par 1 comme premier nombre premier. Henri Lebesgue est considéré comme le dernier mathématicien professionnel à avoir appelé 1 premier. Au début du XXe siècle, les mathématiciens ont commencé à parvenir à un consensus selon lequel 1 n'est pas un nombre premier, mais forme plutôt sa propre catégorie spéciale en tant qu'« unité ».
Un grand nombre de travaux mathématiques seraient toujours valables en appelant 1 un nombre premier, mais le théorème fondamental de l'arithmétique d'Euclide (mentionné ci-dessus) ne tiendrait pas comme indiqué. Par exemple, le nombre 15 peut être factorisé comme et ; si 1 était admis comme nombre premier, ces deux présentations seraient considérées comme des factorisations différentes de 15 en nombres premiers, donc l'énoncé de ce théorème devrait être modifié. De même, le tamis d'Ératosthène ne fonctionnerait pas correctement si 1 était considéré comme un nombre premier : une version modifiée du tamis qui considère 1 comme premier éliminerait tous les multiples de 1 (c'est-à-dire tous les autres nombres) et ne produirait en sortie que le nombre unique. 1. De plus, les nombres premiers ont plusieurs propriétés qui manquent au nombre 1, comme la relation du nombre avec sa valeur correspondante de la fonction totient d'Euler ou la fonction somme des diviseurs.
Histoire
Il y a des indices dans les archives survivantes des anciens Égyptiens qu'ils avaient une certaine connaissance des nombres premiers : les développements de fractions égyptiennes dans le papyrus Rhind, par exemple, ont des formes très différentes pour les nombres premiers et pour les composés. Cependant, les premiers documents survivants de l’étude explicite des nombres premiers proviennent des Grecs de l’Antiquité. Les Éléments d'Euclide (vers 300 avant JC) contiennent d'importants théorèmes sur les nombres premiers, notamment l'infinitude des nombres premiers et le théorème fondamental de l'arithmétique. Euclide a également montré comment construire un nombre parfait à partir d'un nombre premier de Mersenne. Le tamis d'Ératosthène, attribué à Ératosthène, est une méthode simple pour calculer les nombres premiers, bien que les grands nombres premiers que l'on trouve aujourd'hui avec les ordinateurs ne soient pas générés de cette façon.
Après les Grecs, l’étude des nombres premiers a peu évolué jusqu’au XVIIe siècle. En 1640, Pierre de Fermat énonce (sans preuve) le petit théorème de Fermat (prouvé plus tard par Leibniz et Euler). Fermat a également supposé que tous les nombres de la forme 22n + 1 sont premiers (ils sont appelés nombres de Fermat) et il a vérifié cela jusqu'à n = 4 (ou 216 + 1). Cependant, le tout prochain nombre de Fermat 232 + 1 est composite (l'un de ses facteurs premiers est 641), comme Euler l'a découvert plus tard, et en fait, aucun autre nombre de Fermat n'est connu comme étant premier. Le moine français Marin Mersenne a étudié les nombres premiers de la forme 2p − 1, avec p un nombre premier. Ils sont appelés Mersenne premiers en son honneur.
Les travaux d'Euler en théorie des nombres comprenaient de nombreux résultats sur les nombres premiers. Il a montré la série infinie Preuve que la somme des réciproques des nombres premiers diverge| est divergent.
En 1747, il montra que les nombres pairs parfaits sont précisément des entiers de la forme 2p−1(2p − 1), où le deuxième facteur est un nombre premier de Mersenne.
Au début du XIXe siècle, Legendre et Gauss ont conjecturé indépendamment que lorsque x tend vers l'infini, le nombre de nombres premiers jusqu'à x est asymptotique à x/ln(x), où ln(x) est le logarithme népérien de x. Les idées de Riemann dans son article de 1859 sur la fonction zêta ébauchaient un programme qui conduirait à une preuve du théorème des nombres premiers. Ce schéma a été complété par Hadamard et de la Vallée Poussin, qui ont prouvé indépendamment le théorème des nombres premiers en 1896.
Prouver qu'un nombre est premier ne se fait pas (pour les grands nombres) par division d'essai. De nombreux mathématiciens ont travaillé sur des tests de primalité pour les grands nombres, souvent limités à des formes numériques spécifiques. Cela inclut le test de Pépin pour les nombres de Fermat (1877), le théorème de Proth (vers 1878), le test de primalité de Lucas-Lehmer (créé en 1856) et le test de primalité généralisé de Lucas. Des algorithmes plus récents comme APRT-CL, ECPP et AKS fonctionnent sur des nombres arbitraires mais restent beaucoup plus lents.
Pendant longtemps, on a pensé que les nombres premiers avaient des applications extrêmement limitées en dehors des mathématiques pures. Cela a changé dans les années 1970, lorsque les concepts de cryptographie à clé publique ont été inventés, dans lesquels les nombres premiers constituaient la base des premiers algorithmes tels que l'algorithme de cryptosystème RSA.
Depuis 1951, tous les plus grands nombres premiers connus ont été découverts par ordinateur. La recherche de nombres premiers toujours plus grands a suscité un intérêt en dehors des cercles mathématiques. Le Great Internet Mersenne Prime Search et d'autres projets informatiques distribués visant à trouver de grands nombres premiers sont devenus populaires, tandis que les mathématiciens continuent de lutter avec la théorie des nombres premiers.
Nombre de nombres premiers
Il existe une infinité de nombres premiers. Une autre façon de dire cela est que la séquence
2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
des nombres premiers ne finit jamais. Cette affirmation est appelée théorème d'Euclide en l'honneur de l'ancien mathématicien grec Euclide, puisque la première preuve connue de cette affirmation lui est attribuée. De nombreuses autres preuves de l'infinitude des nombres premiers sont connues, notamment une preuve analytique d'Euler, la preuve de Goldbach basée sur les nombres de Fermat, la preuve de Furstenberg utilisant la topologie générale et la preuve élégante de Kummer.
La preuve d'Euclide
La preuve d'Euclide (Livre IX, Proposition 20 ) considère tout ensemble fini S de nombres premiers. L’idée clé est de considérer le produit de tous ces nombres plus un :
 N = 1 + \prod_{p\in S} p.
Comme tout autre nombre naturel, N est divisible par au moins un nombre premier (il est possible que N lui-même soit premier).
Aucun des nombres premiers par lesquels N est divisible ne peut être membre de l'ensemble fini S de nombres premiers avec lequel nous avons commencé, car diviser N par l'un d'entre eux laisse un reste de 1. Par conséquent, les nombres premiers par lesquels N est divisible sont des nombres premiers supplémentaires. au-delà de ceux avec lesquels nous avons commencé. Ainsi, tout ensemble fini de nombres premiers peut être étendu à un ensemble fini de nombres premiers plus grand.
Il est souvent rapporté à tort qu'Euclide part de l'hypothèse que l'ensemble initialement considéré contient tous les nombres premiers, ce qui conduit à une contradiction, ou qu'il contient précisément les n plus petits nombres premiers plutôt qu'un ensemble fini arbitraire de nombres premiers. Aujourd'hui, le produit des n premiers les plus petits plus 1 est classiquement appelé le nième nombre d'Euclide.
La preuve analytique d'Euler
La preuve d'Euler utilise les sommes partielles des réciproques des nombres premiers,
S(p) = \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + \cdots + \frac 1 p.
Pour tout nombre réel arbitraire x, il existe un premier p pour lequel cette somme partielle est supérieure à x. Cela montre qu'il existe une infinité de nombres premiers, car s'il y avait un nombre fini de nombres premiers, la somme atteindrait sa valeur maximale au plus grand nombre premier plutôt que d'être illimitée. Plus précisément, le taux de croissance de S(p) est doublement logarithmique, tel que quantifié par le deuxième théorème de Mertens. A titre de comparaison, la somme
\frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots + \frac 1 {n^2} \sum_{i
1}^n \frac 1 {i^2}
ne croît pas vers l'infini lorsque n tend vers l'infini (voir problème de Bâle). En ce sens, les nombres premiers apparaissent plus souvent que les carrés de nombres naturels. Le théorème de Brun stipule que la somme des réciproques des jumeaux premiers,
 \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right ) + \left( {\frac{1} + \frac{1}} \right) + \cdots = \sum\limits_{ \begin{smallmatrix} p \text{ prime, } \\ p + 2 \text { prime} \end{smallmatrix}} {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}} \right)},
est fini. En raison du théorème de Brun, il n'est pas possible d'utiliser la méthode d'Euler pour résoudre la conjecture des jumeaux premiers, selon laquelle il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.
Test de primalité et de factorisation entière
Il existe différentes méthodes pour déterminer si un nombre n donné est premier. La routine la plus élémentaire, la division d'essai, est de peu d'utilité pratique en raison de sa lenteur. Un groupe de tests de primalité modernes est applicable à des nombres arbitraires, tandis que des tests plus efficaces sont disponibles pour des nombres particuliers. La plupart de ces méthodes indiquent uniquement si n est premier ou non. Les routines produisant également un (ou tous) facteurs premiers de n sont appelées algorithmes de factorisation.
Division de première instance
La méthode la plus élémentaire pour vérifier la primalité d’un entier n donné est appelée division par essai. Cette routine consiste à diviser n par chaque entier m supérieur à 1 et inférieur ou égal à la racine carrée de n. Si le résultat de l’une de ces divisions est un nombre entier, alors n n’est pas un nombre premier, sinon c’est un nombre premier. En effet, si na b est composite (avec a et b ≠ 1) alors l'un des facteurs a ou b est nécessairement au plus \sqrt{n}. Par exemple, pour n
 37 , les divisions de première instance sont par Aucun de ces nombres ne divise 37, donc 37 est premier. Cette routine peut être implémentée plus efficacement si une liste complète des nombres premiers jusqu'à \sqrt{n} est connue — alors les divisions d'essai doivent être vérifiées uniquement pour les m qui sont premiers. Par exemple, pour vérifier la primalité de 37, seules trois divisions sont nécessaires (m = 2, 3 et 5), sachant que 4 et 6 sont composites.
Bien qu'il s'agisse d'une méthode simple, la division par essais devient rapidement peu pratique pour tester de grands entiers car le nombre de facteurs possibles augmente trop rapidement à mesure que n augmente. Selon le théorème des nombres premiers expliqué ci-dessous, le nombre de nombres premiers inférieurs à \sqrt{n} est approximativement donné par \sqrt{n} / \ln(\sqrt{n}), donc l'algorithme peut avoir besoin de ce nombre des divisions de première instance pour vérifier la primalité du n. Pour , ce nombre est de 450 millions, soit trop grand pour de nombreuses applications pratiques.
Tamis
Un algorithme produisant tous les nombres premiers jusqu'à une limite donnée, comme requis dans la méthode de division par essai avec nombres premiers uniquement, est appelé un tamis à nombres premiers. L'exemple le plus ancien, le tamis d'Ératosthène (voir ci-dessus), reste encore le plus couramment utilisé. Le tamis d'Atkin est une autre option. Avant l’avènement des ordinateurs, des listes de nombres premiers allant jusqu’à 107 étaient également utilisées.
Test de primalité versus preuve de primalité
Les tests de primalité modernes pour les nombres généraux n peuvent être divisés en deux classes principales, les algorithmes probabilistes (ou « Monte Carlo ») et déterministes. Les algorithmes déterministes permettent de savoir avec certitude si un nombre donné est premier ou non. Par exemple, la division par essais est un algorithme déterministe car, si elle est exécutée correctement, elle identifiera toujours un nombre premier comme premier et un nombre composé comme composé. Les algorithmes probabilistes sont normalement plus rapides, mais ne prouvent pas complètement qu'un nombre est premier. Ces tests reposent sur le test d’un nombre donné de manière partiellement aléatoire. Par exemple, un test donné peut réussir tout le temps s'il est appliqué à un nombre premier, mais réussir uniquement avec une probabilité p s'il est appliqué à un nombre composé. Si nous répétons le test n fois et réussissons à chaque fois, alors la probabilité que notre nombre soit composite est de 1/(1-p)n, qui diminue de façon exponentielle avec le nombre de tests, nous pouvons donc en être aussi sûrs que nous le souhaitons (bien que jamais parfaitement sûr) que le nombre est premier. En revanche, si jamais le test échoue, alors nous savons que le nombre est composite.
Un exemple particulièrement simple de test probabiliste est le test de primalité de Fermat, qui repose sur le fait (le petit théorème de Fermat) que np≡n (mod p) pour tout n si p est un nombre premier. Si nous voulons tester la primalité d'un nombre b, alors nous calculons nb (mod b) pour une valeur aléatoire de n comme test. Un défaut de ce test est qu'il existe certains nombres composés (les nombres de Carmichael) qui satisfont à l'identité de Fermat même s'ils ne sont pas premiers, le test n'a donc aucun moyen de faire la distinction entre les nombres premiers et les nombres de Carmichael. Les nombres de Carmichael sont cependant nettement plus rares que les nombres premiers, ce test peut donc être utile à des fins pratiques. Des extensions plus puissantes du test de primalité de Fermat, telles que les tests de Baillie-PSW, Miller-Rabin et Solovay-Strassen, sont garanties d'échouer au moins une partie du temps lorsqu'elles sont appliquées à un nombre composé.
Les algorithmes déterministes ne signalent pas par erreur les nombres composés comme premiers. En pratique, la méthode la plus rapide est connue sous le nom de preuve de primalité sur courbe elliptique. L'analyse de son temps d'exécution est basée sur des arguments heuristiques, par opposition à la complexité rigoureusement prouvée du test de primalité AKS plus récent. Les méthodes déterministes sont généralement plus lentes que les méthodes probabilistes, de sorte que ces dernières sont généralement appliquées en premier avant d'employer une routine déterministe plus longue.
Le tableau suivant répertorie un certain nombre de tests principaux. Le temps d'exécution est donné en termes de n, le nombre à tester et, pour les algorithmes probabilistes, le nombre k de tests effectués. De plus, ε est un nombre positif arbitrairement petit et log est le logarithme sur une base non spécifiée. La grande notation O signifie que, par exemple, la preuve de primalité sur courbe elliptique nécessite un temps limité par un facteur (ne dépendant pas de n, mais de ε) fois log5+ε(n).
Algorithmes spéciaux et plus grand nombre premier connu
En plus des tests susmentionnés s'appliquant à tout nombre naturel n, un certain nombre de tests de primalité beaucoup plus efficaces sont disponibles pour les nombres spéciaux. Par exemple, pour exécuter le test de primalité de Lucas nécessite la connaissance des facteurs premiers de , tandis que le test de primalité de Lucas – Lehmer nécessite les facteurs premiers de comme entrée. Par exemple, ces tests peuvent être appliqués pour vérifier si
n! ± 1 = 1 · 2 · 3 · ... · n ± 1
sont premiers. Les nombres premiers de cette forme sont appelés nombres premiers factoriels. D'autres nombres premiers où p + 1 ou p − 1 est d'une forme particulière comprennent les nombres premiers de Sophie Germain (nombres premiers de la forme 2p + 1 avec p premier), les nombres premiers primoriaux, les nombres premiers de Fermat et les nombres premiers de Mersenne, c'est-à-dire les nombres premiers qui sont de la forme , où p est un nombre premier arbitraire. Le test de Lucas – Lehmer est particulièrement rapide pour les nombres de cette forme. C’est pourquoi le plus grand nombre premier connu a presque toujours été un nombre premier de Mersenne depuis l’aube des ordinateurs électroniques.
Le tableau suivant donne les plus grands nombres premiers connus des types mentionnés. Certains de ces nombres premiers ont été découverts grâce au calcul distribué. En 2009, le projet Great Internet Mersenne Prime Search a reçu un prix de 100 000 $ US pour la première découverte d'un nombre premier comportant au moins 10 millions de chiffres. L'Electronic Frontier Foundation offre également 150 000 $ et 250 000 $ pour les nombres premiers comportant au moins 100 millions de chiffres et 1 milliard de chiffres, respectivement. Certains des plus grands nombres premiers dont on ne connaît aucune forme particulière (c'est-à-dire aucune formule simple telle que celle des nombres premiers de Mersenne) ont été trouvés en prenant une donnée binaire semi-aléatoire, en la convertissant en un nombre n, en la multipliant par 256k pour un entier positif k, et recherche de nombres premiers possibles dans l'intervalle [256kn + 1, 256k(n + 1) − 1].
Factorisation entière
Étant donné un entier composite n, la tâche consistant à fournir un (ou tous) facteurs premiers est appelée factorisation de n. La factorisation de courbe elliptique est un algorithme reposant sur l'arithmétique sur une courbe elliptique.
Distribution
En 1975, le théoricien des nombres Don Zagier a commenté que les deux nombres premiers
La distribution des nombres premiers dans les grands, comme la question de savoir combien de nombres premiers sont inférieurs à un seuil grand donné, est décrite par le théorème des nombres premiers, mais aucune formule efficace pour le n-ème nombre premier n'est connue.
Il existe des séquences arbitrairement longues de non premiers consécutifs, comme pour tout entier positif n les n entiers consécutifs de (n+1) ! + 2 à (n+1) ! + n + 1 (inclus) sont tous composites (car (n+1) ! + k est divisible par k pour k entre 2 et n + 1).
Le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques, dans sa forme fondamentale, affirme que les polynômes linéaires
p(n) = une + bn\,
avec des entiers premiers entre eux, a et b prennent une infinité de valeurs premières. Des formes plus fortes du théorème stipulent que la somme des réciproques de ces valeurs premières diverge et que différents polynômes de ce type avec le même b ont approximativement les mêmes proportions de nombres premiers.
La question correspondante pour les polynômes quadratiques est moins bien comprise.
Formules pour les nombres premiers
Il n’existe aucune formule efficace connue pour les nombres premiers. Par exemple, le théorème de Mills et un théorème de Wright affirment qu'il existe des constantes réelles A>1 et μ telles que
\left \lfloor A^{3^{n}}\right \rfloor \text{ et } \left \lfloor 2^{\dots^{2^{2^\mu}}} \right \rfloor
sont premiers pour tout nombre naturel n. Ici, \lfloor - \rfloor représente la fonction plancher, c'est-à-dire le plus grand entier non supérieur au nombre en question. Cette dernière formule peut être démontrée à l'aide du postulat de Bertrand (prouvé pour la première fois par Chebyshev), qui stipule qu'il existe toujours au moins un nombre premier p avec n  3. Cependant, le calcul de A ou μ nécessite pour commencer la connaissance d'une infinité de nombres premiers. Une autre formule est basée sur le théorème de Wilson et génère le nombre 2 plusieurs fois et tous les autres nombres premiers exactement une fois.
Il n’existe pas de polynôme non constant, même à plusieurs variables, qui ne prenne que des valeurs premières. Cependant, il existe un ensemble d'équations diophantiennes à 9 variables et un paramètre avec la propriété suivante : le paramètre est premier si et seulement si le système d'équations résultant a une solution sur les nombres naturels. Ceci peut être utilisé pour obtenir une formule unique avec la propriété que toutes ses valeurs positives sont premières.
Nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné
La fonction de comptage des nombres premiers π(n) est définie comme le nombre de nombres premiers non supérieur à n. Par exemple, π(11) = 5, puisqu'il existe cinq nombres premiers inférieurs ou égaux à 11. Il existe des algorithmes connus pour calculer les valeurs exactes de π(n) plus rapidement qu'il ne serait possible de calculer chaque nombre premier jusqu'à n. Le théorème des nombres premiers stipule que π(n) est approximativement donné par
\pi(n) \approx \frac n {\ln n},
dans le sens où le rapport de π(n) et de la fraction de droite s'approche de 1 lorsque n croît vers l'infini. Cela implique que la probabilité qu'un nombre inférieur à n soit premier est (approximativement) inversement proportionnelle au nombre de chiffres de n. Une estimation plus précise de π(n) est donnée par l'intégrale logarithmique décalée
\operatorname{Li}(n) = \int_2^n \frac{dt}{\ln t}.
Le théorème des nombres premiers implique également des estimations de la taille du n-ème nombre premier pn (c'est-à-dire p1 2, p2
3, etc.) : jusqu’à un facteur borné, pn croît comme . En particulier, les écarts entre les nombres premiers, c'est-à-dire les différences entre deux nombres premiers consécutifs, deviennent arbitrairement grands. Cette dernière affirmation peut aussi être vue de manière plus élémentaire en notant que la suite (pour la notation n! lire factorielle) est constituée de nombres composés, pour tout entier naturel n.
Progressions arithmétiques
Une progression arithmétique est l'ensemble de nombres naturels qui donnent le même reste lorsqu'ils sont divisés par un nombre fixe q appelé module. Par exemple,
3, 12, 21, 30, 39, ...,
est une progression arithmétique modulo. À l'exception de 3, aucun de ces nombres n'est premier, car les nombres restants dans cette progression sont tous composés. (En termes généraux, tous les nombres premiers au-dessus de q sont de la forme q#·n + m, où 0 n^2 + n + 41\,
donne des nombres premiers pour , un fait qui mène à la théorie algébrique profonde des nombres : plus précisément, aux nombres de Heegner. Pour n supérieur, l’expression produit également des valeurs composites. La conjecture de Hardy-Littlewood F fait une prédiction asymptotique sur la densité des nombres premiers parmi les valeurs des polynômes quadratiques (avec des coefficients entiers a, b et c),
f(n) = ax^2 + bx + c ,
en termes de Li(n) et des coefficients a, b et c. Toutefois, les progrès ont été difficiles. Aucun polynôme quadratique (avec ) n'est connu pour prendre une infinité de valeurs premières. La spirale Ulam représente tous les nombres naturels sous la forme d’une spirale. Les nombres premiers se regroupent sur certaines diagonales et pas sur d'autres, ce qui suggère que certains polynômes quadratiques prennent des valeurs premières plus souvent que d'autres.
Questions ouvertes
Fonction Zeta et hypothèse de Riemann
La fonction zêta de Riemann ζ(s) est définie comme une somme infinie
\zeta(s)\sum_{n
1}^\infin \frac{1}{n^s},
où s est un nombre complexe dont la partie réelle est supérieure à 1. C'est une conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique que cette somme s'accorde avec le produit infini
\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}.
La fonction zêta est étroitement liée aux nombres premiers. Par exemple, le fait susmentionné selon lequel il existe une infinité de nombres premiers peut également être observé en utilisant la fonction zêta : s'il n'y avait qu'un nombre fini de nombres premiers, alors ζ(1) aurait une valeur finie. Cependant, la série harmonique diverge (c'est-à-dire dépasse un nombre donné), il doit donc y avoir une infinité de nombres premiers. Un autre exemple de la richesse de la fonction zêta et un aperçu de la théorie algébrique moderne des nombres est l'identité suivante (problème de Bâle), due à Euler,
\zeta(2) \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-2}}
 \frac{\pi^2}{6}.
L'inverse de ζ(2), 6/π2, est la probabilité que deux nombres choisis au hasard soient premiers entre eux.
L'hypothèse de Riemann non prouvée, datant de 1859, stipule qu'à l'exception de tous les zéros de la fonction ζ, sa partie réelle est égale à 1/2. Le lien avec les nombres premiers est qu'il dit essentiellement que les nombres premiers sont distribués aussi régulièrement que possible. D'un point de vue physique, il indique grossièrement que l'irrégularité dans la distribution des nombres premiers provient uniquement d'un bruit aléatoire. D'un point de vue mathématique, il indique grossièrement que la distribution asymptotique des nombres premiers (environ x/log x des nombres inférieurs à x sont premiers, le théorème des nombres premiers) est également valable pour des intervalles de longueur beaucoup plus courts autour de la racine carrée de x (pour les intervalles près de x). Cette hypothèse est généralement considérée comme correcte. En particulier, l’hypothèse la plus simple est que les nombres premiers ne devraient présenter aucune irrégularité significative sans raison valable.
Autres conjectures
En plus de l'hypothèse de Riemann, de nombreuses autres conjectures autour des nombres premiers ont été posées. Ayant souvent une formulation élémentaire, nombre de ces conjectures ont résisté à des preuves pendant des décennies : les quatre problèmes posés par Landau en 1912 ne sont toujours pas résolus. L'une d'elles est la conjecture de Goldbach, qui affirme que tout entier pair n supérieur à 2 peut être écrit comme une somme de deux nombres premiers. , cette conjecture a été vérifiée pour tous les nombres jusqu'à . Des affirmations plus faibles que celles-ci ont été prouvées, par exemple le théorème de Vinogradov dit que tout entier impair suffisamment grand peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers. Le théorème de Chen dit que tout nombre pair suffisamment grand peut être exprimé comme la somme d'un nombre premier et d'un semi-premier, le produit de deux nombres premiers. De plus, tout nombre pair peut s’écrire comme la somme de six nombres premiers. La branche de la théorie des nombres qui étudie ces questions est appelée théorie additive des nombres.
D'autres conjectures portent sur la question de savoir s'il existe une infinité de nombres premiers soumis à certaines contraintes. On suppose qu’il existe une infinité de nombres premiers de Fibonacci et une infinité de nombres premiers de Mersenne, mais pas de nombres premiers de Fermat. On ne sait pas s’il existe ou non un nombre infini de nombres premiers de Wieferich et de nombres premiers d’Euclide.
Un troisième type de conjectures concerne des aspects de la distribution des nombres premiers. On suppose qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, des paires de nombres premiers avec une différence de 2 (conjecture des nombres premiers jumeaux). La conjecture de Polignac est un renforcement de cette conjecture, elle stipule que pour tout entier positif n, il existe une infinité de paires de nombres premiers consécutifs qui diffèrent de 2n. On suppose qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme n2 + 1. Ces conjectures sont des cas particuliers de l'hypothèse générale de Schinzel. La conjecture de H. Brocard dit qu'il y a toujours au moins quatre nombres premiers entre les carrés de nombres premiers consécutifs supérieurs à 2. Conjecture de Legendre indique qu'il existe un nombre premier entre n2 et (n + 1)2 pour chaque entier positif n. C'est ce qu'implique la conjecture la plus forte de Cramér.
Applications
Pendant longtemps, la théorie des nombres en général, et l'étude des nombres premiers en particulier, ont été considérées comme l'exemple canonique des mathématiques pures, sans aucune application en dehors de l'intérêt personnel de l'étude du sujet, à l'exception de l'utilisation des nombres premiers. dents d'engrenage pour répartir l'usure uniformément. En particulier, des théoriciens des nombres tels que le mathématicien britannique G. H. Hardy se targuaient de réaliser des travaux qui n’avaient absolument aucune signification militaire. Cependant, cette vision a été brisée dans les années 1970, lorsqu’il a été annoncé publiquement que les nombres premiers pourraient servir de base à la création d’algorithmes de cryptographie à clé publique. Les nombres premiers sont également utilisés pour les tables de hachage et les générateurs de nombres pseudo-aléatoires.
Certaines machines à rotor ont été conçues avec un nombre différent de broches sur chaque rotor, le nombre de broches sur n'importe quel rotor étant soit premier, soit coprime par rapport au nombre de broches sur n'importe quel autre rotor. Cela a permis de générer le cycle complet des positions possibles du rotor avant de répéter n'importe quelle position.
Les International Standard Book Numbers fonctionnent avec un chiffre de contrôle, qui exploite le fait que 11 est un nombre premier.
Arithmétique modulo a corps premiers et finis
L'arithmétique modulaire modifie l'arithmétique habituelle en utilisant uniquement les nombres
\{0, 1, 2, \dots, n-1 \}, \,
où n est un nombre naturel fixe appelé module.
Le calcul des sommes, des différences et des produits se fait comme d'habitude, mais chaque fois qu'un nombre négatif ou supérieur à n − 1 apparaît, il est remplacé par le reste après division par n. Par exemple, pour n = 7, la somme 3 + 5 est 1 au lieu de 8, puisque 8 divisé par 7 a un reste 1. On y fait référence en disant "3 + 5 est congru à 1 modulo 7" et est noté
3 + 5 \equiv 1 \pmod 7.
De même, 6 + 1 ≡ 0 (mod 7), 2 − 5 ≡ 4 (mod 7), puisque −3 + 7 = 4, et 3 · 4 ≡ 5 (mod 7) puisque 12 a un reste de 5. Propriétés standard de l'addition et la multiplication familière des entiers restent valables en arithmétique modulaire. Dans le langage de l'algèbre abstraite, l'ensemble d'entiers ci-dessus, également noté Z/nZ, est donc un anneau commutatif.